1、2011届高考数学百题精炼系列3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. 5若，则 等于 5.答案: 0 6已知数列an的前n项和，则数列an成等比数列的充要条件是r 6.答案: r = -17计算 7.答案：-18观察下列等式：,，根据上述规律，第五个等式为 _ _.8.【答案】9已知复数满足=2，则的最大值为 9.答案：710设，则 .10.答案：11已知函数在处有极大值，则= 。11.答案：61212. 已知函数f(x) 在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则f(1)= .12.答案: 213已知扇形的圆心角为（定值），半径为
2、（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 图一第12题图图二13.答案：14.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 .14.答案：或 解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，二、解答题16（本小题满分14分）已知p：，q： 若p是q充分不必要条件，求实数的取值范围； 若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数的取值范围16、(本题14分)解：，： 2分是的充分不必要条件，是的真子集 4分 7分实数的取值范围为 8分“非”是“非”的充分不必要条件，是的充分不
3、必要条件 10分 13分实数的取值范围为 18. (本题满分15分)已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (7分)（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. (8分)（1）解 an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=Sn-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=，S3=，S4=， 6分猜想Sn=（nN*）. 7分（2）证明 当n=1时，S1=1成立.假设n=k（k1,kN*）时，等式成立，即Sk=，当n=k+1时，Sk+1=（k+1）2ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，
4、 ak+1=，Sk+1=（k+1）2ak+1=，n=k+1时等式也成立，得证.根据、可知，对于任意nN*，等式均成立. 13分又ak+1=，an=. 15分19.（本小题满分16分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当
5、垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分)（ii）设（km），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分) A B C x （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？ (6分)解:（1）（i）由题意知, AC=, BC=, -2分其中 当时，y=0.065 , 所以k=9所以 -3分（ii）如图,由题意知ACBC, -7分其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为-10分（2）（i）-4分当且仅当
6、 即当AC时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值. -16分（ii）,令得,所以,即, 当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数-14分.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值. -16分解法二: （1）同上.20（本小题满分16分）已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直(1) 求实数的值；(2) 求在 （为自然对数的底数）上的最大值；(3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？20（1）当时， 2分由题意得：，即， 4分解得：。 6分（2）由（1）知：当时， 当时，当时，；当时，在单调递增；在上的最大值为。 -9分当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为。 11分（3）假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，不妨设，则，且。是以为直角顶点的直角三角形，即 （*） 13分是否存在等价于方程（*）是否有解。若，则，代入方程（*）得：，即：，而此方程无实数解，从而， ，代入方程（*）得：，
