1、专题12 函数模型及其应用【考点总结】1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型来源:学|科|网Z|X|X|Kf(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2.三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳来源:Z+xx+k.Com图象的变化随x值增大，图
2、象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同【常用结论】1“对勾”函数形如f(x)x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(，)和(，)上单调递增，在，0)和(0， 上单调递减(2)当x0时，x时取最小值2，当xg(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x)解析：选B.由图象知，当x(4，)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)故选B.例2生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个
3、月应生产该商品数量为_万件解析：利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值答案：18例3某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是_解析：由题意可得y答案：y【考点解析】【考点】一、应用所给函数模型解决实际问题例1、(1)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170 pp2，则最大毛
4、利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28 000元 D23 000元(2)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)1.06(0.5m1)给出，其中m0，m是不超过m的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为_元【解析】(1)设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)当p(0，30)时，L(p)0，当p(30，)时，L(p)200，两边同时取对数，得
5、n1，又3.8，则n4.8，即a5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.【答案】C角度三构建函数yax(a0，b0)模型例3、某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少【解】设该养殖场x(xN*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.036(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x1)6(x2)63x
6、23x(元)从而有y(3x23x300)2001.83x357417，当且仅当3x，即x10时，y有最小值故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少角度四构建分段函数模型例4、某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)(1)求函
7、数yf(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】(1)当x6时，y50x115，令50x1150，解得x2.3，因为x为整数，所以3x6，xZ.当x6时，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，结合x为整数得6x20，xZ.所以yf(x)(2)对于y50x115(3x6，xZ)，显然当x6时，ymax185；对于y3x268x1153(6x20，xZ)，当x11时，ymax270. 因为270185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多构建数学模型解决实际问题，要正确理解题
8、意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制 【变式】1某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤_次才能达到市场要求(已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)解析：设至少过滤n次才能达到市场需求，则2%0.1%，即，所以nlg 1lg 2，所以n7.39，所以n8.答案：8【变式】2大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)则总利润最大时，该门面经营的天数是_解析：由题意，总利润y当0x400时，y(x300)225 000，所以当x300时，ymax25 000；当x400时，y60 000100x20 000，综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元答案：300
