1、专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型 【模型展示】特点如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即ACDABCCBD.结论CA2ADAB，BC2BDBA，CD2DADB.【模型证明】解决方案“三垂直”模型如图，BDACE90，则ABCCDE.“一线三等角”模型如图，BACED，则ABCCDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则ACEABCCDE.【题型演练】一、单选题1如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上若DE=4，则AF的长为（ ） AB4C3D
2、22如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、连接，当时，长为（）A6BC10D3如图，在矩形ABCD中，CD4，E是BC的中点，连接AE，tanAEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（）A或B或C或D或4如图，在矩形中，、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且为的中点，为的中点，则四边形的周长为（）ABCD5如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AGGF，AC，则下列结论：DGA=CGF；DAGCGF
3、；AB=2；BE=CF正确的个数是（）A2个B3个C4个D5个6如图，在中，动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒连接下列结论正确的有（ ）个；当时，；以点为圆心、为半径画，当时，与相切；当时，ABCD二、填空题7如图，正方形的对角线，相交于点，为上一点，连接，过点作于点，与交于点，则的长是_8如图，在矩形中，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接若是以为腰的等腰三角形，则的长为_9如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，
4、且时，的值为_三、解答题10如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（ABAE）(1)求证：AEFDCE；(2)AEF与ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得AEF与BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由11（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：（2）探究若将90角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由（3）应用如图3，在中，以点A为直角顶点作等腰点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，
5、求CD的长12【感知】如图，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），易证（不需要证明）【探究】如图，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），若，求AP的长【拓展】如图，在中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长13如图，在矩形中，是上一点，于点，设（1）若，求证：；（2）若，且在同一直线上时，求的值14如图，矩形ABCD中，AB1，BC3，点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），AE的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FGGE12，设BEx（1）求证：；（2）
6、当点G在ADF的内部时，用x的代数式表示ADG的余切；（3）当FGDAFE时，求线段BE的长15如图，已知四边形ABCD，BC90，P是BC边上的一点，APD90（1）求证：；（2）若BC10，CD3，PD3，求AB的长16如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若AFGACD（1）求证：MFCMCA；若AB5，AC8，求的值（2）若DMCM2，AD3，请直接写出EF长17如图，在正方形中，点在上，交于点（1）求证：；（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由18如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，APB、APC的角
7、平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF（1）求证：BEPCPF；（2）当PAB30时，求PEF的面积19如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作，交射线DC于点E，已知，设AP的长为x(1)_；当时，_；(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值20【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G（1）求证：【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H若，求线段DE的长【拓展】
8、（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，求的值（用含k的代数式表示）21在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处（1）如图1，若，求的值；（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值22问题提出（1）如图1，在矩形中，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G若，则的面积为_问题探究（2）如图2，在矩形中，点P是边上一动点，点Q是的中点将沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是请问是否存在这样的点P，使得点P、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由问题解决（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，点D到的距离为，且若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接设的长为，四边形的面积为根据题意求出y与x之间的函数关系式；在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用
