1、专题11 利用垂线段最短求最值（三大类型含“胡不归”)（知识解读）【专题说明】 初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决【方法技巧】类型一：一动一定型如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A、B 之间距离的最小值 。通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短类型二：两动一定型如图，直线AB，AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，试确定点P，N的
2、位置，使MP+PN的值最小解题思路：一找：第一步：作点M关于AC的对称点M；第二步：过点M作MNAB于点N，交AC于点P；二证：证明MP+PN的最小值为MN类型三：一定两动型（胡不归问题）“胡不归” 问题即点 P 在直线 l 上运动时的 “ PAkPB ( 0 k 1 ) ” 型最值问题 .问题：如图 ，已知 sinMBNk，点 P 为 MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP，则当 “ PAkPB ” 的值最小时，点 P 的位置如何确定？解题思路：过点 P 作 PQBN 于点 Q，则 kPBPBsinMBNPQ， 可将求 “ PAkPB ” 的最小
3、值转化为求 “ PAPQ ” 的最小值 ( 如图 )， 当 A、Q、P 三点共线时，PAPQ 的值最小 ( 如图 )，此时 AQBN .【典例分析】【典例1】模型分析问题：如图，点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小解题思路：一找：过点A作直线l的垂线交直线l于点P；二证：证明AP是点A到直线l的最短距离请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AC8，BAC30，点P是对角线AC上一动点，连接BP（1）线段BP的最小值为 ；（2）若以AP，BP为邻边作APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为 【变式1-2】如图，在R
4、tABC中，AB3，BC4，经过点B且与边AC相切的动圆与AB，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为 【变式1-3】如图，RtABC斜边AC的长为4，C的半径为1，RtABC与C重合的面积为，P为AB上一动点，过点P作C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为【典例2】如图，在ABC中，ACBC6，SABC12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是 【变式2-1】如图，在菱形ABCD中，AC6，BD8，对角线AC与BD交于点O，点E是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为 【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，点
5、E是对角线BD上一点，EFBC于点F，EGCD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为 【变式2-4】如图，已知二次函数yx2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值 【典例3】模型分析问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使kAP+BP（0k1）的值最小解题思路：一找：找带有系数k的线段AP；二构：在直线l下方构造以线段AP为斜边的直角三角形；在直线l上找一点P，以定点A为顶点作角NAP，使sinNAPk；过点B作BEAN于点E
6、，交直线l于点P，构造RtAPE；三转化：化折为直，将kAP转化为PE；四证：证明kAP+BP的最小值为BE的长请根据“解题思路”写出求kAP+BP最小值的完整过程【变式3-1】如图，四边形ABCD为菱形，B60，AB4，点E为AD上的定点，且AEED，F为AC上的动点，则EF+FC的最小值为 【变式3-2】如图，在正方形ABCD中，AB10，对角线AC，BD相交于点O，点E是AO的中点，点F为对角线BD上的动点，则EF+BF的最小值为 【变式3-3】如图，在RtABC中，AC10，C30，点D是BC边上的动点，则2AD+CD的最小值为 专题11 利用垂线段最短求最值（三大类型含“胡不归”)（
7、知识解读）【专题说明】 初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决【方法技巧】类型一：一动一定型如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A、B 之间距离的最小值 。通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短类型二：两动一定型如图，直线AB，AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，试确定点P，N的位置，使MP+PN的值最小解题思路：一找：第一步：作点M
8、关于AC的对称点M；第二步：过点M作MNAB于点N，交AC于点P；二证：证明MP+PN的最小值为MN类型三：一定两动型（胡不归问题）“胡不归” 问题即点 P 在直线 l 上运动时的 “ PAkPB ( 0 k 1 ) ” 型最值问题 .问题：如图 ，已知 sinMBNk，点 P 为 MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP，则当 “ PAkPB ” 的值最小时，点 P 的位置如何确定？解题思路：过点 P 作 PQBN 于点 Q，则 kPBPBsinMBNPQ， 可将求 “ PAkPB ” 的最小值转化为求 “ PAPQ ” 的最小值 ( 如图 )，
9、当 A、Q、P 三点共线时，PAPQ 的值最小 ( 如图 )，此时 AQBN .【典例分析】【典例1】模型分析问题：如图，点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小解题思路：一找：过点A作直线l的垂线交直线l于点P；二证：证明AP是点A到直线l的最短距离请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程【解答】解：如图所示：APl于点P，AP是点A到直线l的最短距离【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AC8，BAC30，点P是对角线AC上一动点，连接BP（1）线段BP的最小值为 ；（2）若以AP，BP为邻边作APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为 【答案】（1）2
10、 （2）【解答】（1）当BPAC时，BP取最小值，AC8，BAC30，ABACcos304，BP最小ABsin302；故答案为：2；（2）根据题意，作图如下：四边形APBQ是平行四边形，AOAB2，PQ2OP，要求PQ的最小值，即求OP的最小值，当OPAC时，OP取最小值，OPAOsin30，PQ的最小值为故答案为：【变式1-2】如图，在RtABC中，AB3，BC4，经过点B且与边AC相切的动圆与AB，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为 【答案】【解答】解：取PQ的中点O，过O点作ODAC于D，过B点作BHAC于H，连接OB，如图，在RtABC中，AB3，BC4，AC5，BHACAB
11、CB，BH，PBQ90，PQ为O的直径，O与AC相切，ODAC，OD为O的半径，OB+ODBH（当且仅当D点与重合时取等号），OB+OD的最小值为BH的长，即O的直径的最小值为，线段PQ的最小值为故答案为：【变式1-3】如图，RtABC斜边AC的长为4，C的半径为1，RtABC与C重合的面积为，P为AB上一动点，过点P作C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为【答案】【解答】解：设Cn，RtABC与C重合的面积为，解得n60，即C60，RtABC斜边AC的长为4，C60，BCAC2，连接CQ，CP，如图，PQ为C的切线，CQPQ，CQP90，PQ，当CP最小时，PQ最小，当CPAB时，CP最短
12、，此时CPCB2，PQ的最小值为故答案为：【典例2】如图，在ABC中，ACBC6，SABC12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是 【答案】4【解答】解：如图，CACB，D是AB的中点，CD是ACB的平分线，点N关于CD的对称N在AC上，过点B作BHAC于点HAC6，SABC12，6BH12，解得BH4，BM+MNBM+MNBH4，BM+MN的最小值为4故答案为：4【变式2-1】如图，在菱形ABCD中，AC6，BD8，对角线AC与BD交于点O，点E是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为 【答案】【解答】解：如图，四边形ABCD是菱
13、形，AC平分BCD，ACBD，OAOC3，OBOD4，CD5，在CD上取一点N，使得CNCN，连接MN，过点A作AHCD于点H菱形ABCD的面积ACBDCDAH，AH，CNCN，MCNMCN，CMCM，MCNMCN（SAS），MNMN，EM+MNEM+MNAH，ME+MN的最小值为故答案为：【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，点E是对角线BD上一点，EFBC于点F，EGCD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为 【答案】【解答】解：如图，在AD上取一点P，使得PDPB，连接BP，PC，EC，过点C作CJBP于点J，过点E作EKBP于点K四边形ABCD是矩形，ADBC6，AD
14、BC，A90，设PDPBx，则x2（6x）2+42，x，SPBCPBCJ64，CJ，ADCB，ADBDBC，PDPB，PDBPBD，PBDPBC，EKBC，EKBP，EFEK，EGCD，EFCFCGCGF90，四边形EFCG是矩形，FGEC，EF+FGEK+CECJ，EF+FH的最小值为故答案为：【变式2-4】如图，已知二次函数yx2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值 【答案】4【解答】解：将x0代入yx2+x+2得y2，点C坐标为2，令0x2+x+2，解得x11，x24，点A坐标
15、为（1，0），点B坐标为（4，0），AC，BC2，AB5，AC2+BC2AB2，ACB为直角三角形，ACB90，点A关于直线BC的对称点A坐标为（1，4），BC是AA的垂直平分线，AMAM，即AM+MNAM+MN，当ANx轴时，AM+MN的最小值为AN的长度，故答案为：4【典例3】模型分析问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使kAP+BP（0k1）的值最小解题思路：一找：找带有系数k的线段AP；二构：在直线l下方构造以线段AP为斜边的直角三角形；在直线l上找一点P，以定点A为顶点作角NAP，使sinNAPk；过点B作BEAN于点E，交
16、直线l于点P，构造RtAPE；三转化：化折为直，将kAP转化为PE；四证：证明kAP+BP的最小值为BE的长请根据“解题思路”写出求kAP+BP最小值的完整过程【解答】解：如图，在直线l上找一点P，以定点A为顶点作NAP，使sinNAPk，过点B作BEAN于点E，交直线l于点P，点P即为所求的位置，理由如下：BEAN，AEP90，sinNAPk，PEkAP，BEAN，点B到AN的最短线段为BE，BEPE+BP，即BEkAP+BP，此时，kAP+BP（0k1）的值最小【变式3-1】如图，四边形ABCD为菱形，B60，AB4，点E为AD上的定点，且AEED，F为AC上的动点，则EF+FC的最小值为
17、 【答案】3【解答】解：过点F作FHBC于点H，连接EH，过点A作AMBC于点M，四边形ABCD是菱形，ABBC6，B60，ABC为等边三角形，ABBCAC6，AMABsin603，ACB60，FHCFsin60CF，EF+FCEF+FHEH，当E、F、H三点依次在同一直线上，且EHBC时，EF+FCEF+FHEHAM3的值最小，故答案为：3【变式3-2】如图，在正方形ABCD中，AB10，对角线AC，BD相交于点O，点E是AO的中点，点F为对角线BD上的动点，则EF+BF的最小值为 【答案】【解答】解：过点F作FHBC于点H，连接EH，四边形ABCD是正方形，AB10ACAB10，ACBCB
18、D45，OAOC5，E是OA的中点，AEOE，CE，FHBFsin45BF，EF+BFEF+FHEH，当E、F、H三点依次在同一直线上，且EHBC时，EF+BFEHCEsin45的值最小，故答案为：【变式3-3】如图，在RtABC中，AC10，C30，点D是BC边上的动点，则2AD+CD的最小值为 【答案】10【解答】解：延长AB到点E，使得BEAB，连接CE，过点D作DFCE，连接AF，ABCCBE90，BCBC，ABCEBC（SAS），ACBECB30，ACBC，AEC为等边三角形，DFCD，AD+CDAD+DFAF，当A、D、F三点依次在同一直线上，且AFBC时，AD+CDAD+DFAFACsin605的值最小，2AD+CD2（AD+CD）的最小值为510故答案为：10
