1、10.3 二项式定理及其应用思维导图知识点总结1二项式定理(1)二项式定理：(ab)n_ (nN*)；(2)通项：Tk1_，它表示第_项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，C.2二项式系数的性质(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数_.这一性质可直接由CC得到直线r将函数(r)C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴(2)增减性与最大值因为CC，即，所以，当1，即k时，C随k的增加而减小当n是偶数时，中间的一项_取得最大值；当n是奇数时，中间的两项_与_相等，且同时取得最大值3各二项式系数和(1)CCCC _；(2)CCC_；(3)CCC_.1注意(ab)n与(ba)
2、n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题2解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同3(1x)nCCxCxkCxn.典型例题分析考向一 求展开式中的特定项或特定项系数【例1】(1)(2022上海奉贤区二模)已知n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n的值为()A7 B8 C9 D10(2)(2022新高考卷)(xy)8的展开式中x2y6的系数为_(用数字作答)【变式】(2019浙江高考)在二项式(x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_. 1求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tk1项写出并化简(2)令字
3、母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项公式得所求 2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏考向二 二项展开式中系数的和【例2】若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为()A1 B1C27 D27 赋值法的应用(1)对形如(axb)n(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1.(2)对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令xy1.(3)一般地，对于多项式(abx)na0a
4、1xa2x2anxn，令g(x)(abx)n，则(abx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(abx)n的展开式中奇数项的系数和为g(1)g(1)，(abx)n的展开式中偶数项的系数和为g(1)g(1)【变式】(多选)若(12x)2022a0a1xa2x2a3x3a2022x2022(xR)，则()Aa01Ba1a3a5a2021Ca0a2a4a2022D.1考向三 二项式系数的最值问题【例3】二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A3 B5 C6 D7 求二项式系数最大的项(1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大(2)如果n是奇数，
5、那么中间两项的二项式系数相等并最大【变式】设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m()A5 B6 C7 D8考向四 项的系数的最值问题【例4】(1)若(12x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A. BC. D【变式1】(2021上海高考)已知(1x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1x)n的系数和为_. 求展开式中系数最大的项如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第k项系数最大，应用从而解出k来【变式2】已
6、知(x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2n的展开式中，二项式系数最大的项为_，系数的绝对值最大的项为_.考向五 二项式定理的应用【例5】设aZ，且0a13，若512022a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12【变式】0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为()A9,0,4 B9,4,0C9,2,0 D9,0,2 二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很
7、大，|x|比较小时，(1x)n1nx.【变式】9.190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A1 B1 C87 D87基础题型训练一、单选题1设，是常数，则的值是（）ABCD02的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n为（）A10B11C12D133的展开式中，含项的系数是（）AB28C29D4的展开式中，含项的系数是（）ABCD5如果，那么的值等于A1B2C0D26若展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（）A5B6C7D8二、多选题7展开式中二项式系数最大的是，则可以是（）A8B9C10D118已知二项式展开式的第5项为15，则（）ABC展开式的系数的最
8、大值为20D展开式的各项系数之和为64三、填空题9二项展开式，则 ； 10在展开式中，含有项的系数为 11已知的展开式中含项的系数为6，则实数的值为 .12已知的展开式中含项的系数为，则 .四、解答题13已知的展开式前两项的二项式系数的和为10.(1) 求的值. (2) 这个展开式中是否有常数项?若有,将它求出,若没有,请说明理由.14已知展开式中第4项与第2项系数比为15：1，求展开式中的倒数第3项15在的展开式中（1）求二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项是第几项? 16已知二项式的展开式中，前三项系数成等差数列.（1）求正整数的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展
9、开式中系数最大的项.提升题型训练一、单选题1已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则项系数为（）A10B32C40D802已知的展开式中常数项系数为4，则（）AB1CD3在的二项展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（）ABCD4的展开式中，含项的系数为ABCD185的展开式中的系数为（）A448BC672D6已知，则 （）ABCD二、多选题7已知，成递增等比数列，则在的展开式中，下列说法正确的是（）A二项式系数之和为B各项系数之和为C展开式中二项式系数最大的项是第项D展开式中第项为常数项8已知，则（）ABCD三、填空题9展开式中的系数为，则= .10二项式的展开式中的常数项为 .11若对任意恒成立，则 .12若，则 四、解答题13已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为512(1)求n的值：(2)求展开式中的常数项14设，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).15（1）求的二项展开式；（2）求的二项展开式中的常数项；（3）求的二项展开式中的系数；（4）在的二项展开式中，如果第项和第项的系数的绝对值相等，求此展开式的第4r项16已知展开式中的 项按的升幂排列依次为、.（1）若，求的值；（2）记，求和.
