1、专题1.10 有理数（分类讨论问题）（培优练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2022秋河北邢台七年级邢台三中校考期中）下列是数的分类，正确的是（）ABCD2（2023秋江苏七年级专题练习）点、在同一条数轴上，其中点表示的数为1，若点到点的距离为4，则点表示的数是（）A3 B5 C3或 D5或3（2023秋重庆丰都七年级统考期末）位于直线l上的线段，则两点间的距离是（）A B C或 D不能确定4（2022秋四川眉山七年级校联考期中）点、在同一条数轴上，其中点、表示的数分别为、，若点到点的距离为，则点到点的距离等于（）A B C或 D或5（2022秋六年级单元测试）在数
2、轴上，与对应的点距离为个单位的点表示的数是（）A B或 C D6（2023秋全国七年级专题练习）满足的整数共有（）A2 B3 C4 D57（2022秋浙江湖州七年级校联考阶段练习）已知点A是数轴上的一点，它到原点的距离为3，把点A向左平移7个单位后，再向右平移5个单位得到点B，则点B到原点的距离为（）A3或7 B3或5 C1或3 D1或58（2022秋浙江杭州七年级校联考期中）若，则的值为（）A0或1 B或0 C D9（2023秋七年级单元测试）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（）A6 B2 C8 D910（2023秋全国七年级专题练习）若满足方程，则等于（）A B C D
3、二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2023全国七年级专题练习）已知、均为数轴上的点，到原点的距离为，点到点的距离为个单位长度，且在的左边，则点表示的数为 12（2023秋河北保定七年级统考期末）如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数（1）图中点C表示的数是 ；（2）若点D在数轴上，且，则点D表示的数为 13（2023秋全国七年级专题练习）已知点、点、点是同一条数轴上的三个点，且，若点在数轴上表示的数是1，则点在数轴上表示的数是 14（2022秋新疆乌鲁木齐七年级校考期末）点、是数轴上不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为3，若、三个点中，其中一
4、点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”，则符合“和谐三点”的点表示的数为 15（2023全国九年级专题练习）数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；若，则x= 16（2023秋全国七年级专题练习）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，将A、B之间的距离记作，定义，若，设点P在数轴上对应的数是x，当相差2时，则x的值为 17（2022秋浙江丽水七年级校考期中）已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 18（2023春黑龙江哈尔滨六年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，点在数轴上且与点A、点B的距离相等，
5、则点表示的数是 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2023秋陕西渭南七年级统考期末）如图，数轴上从左到右依次有点、，其中点为原点，、所对应的数分别为、1，、两点间的距离是3（1）在图中标出点，的位置，并写出点对应的数；（2）若在数轴上另取一点，且、两点间的距离是7，求点所对应的数20（8分）（2022春黑龙江哈尔滨六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，数轴上点A、B对应的数分别是a、b，并且（1）求A、B两点之间距离（2）若两动点P、Q同时从原点出发，点P以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左移运动，点Q以2个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点P到点A的距离是点
6、O到点B距离的2倍？（3）点C是数轴上A、B之间一点，P、Q两点同时从点C出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为a秒时，P、Q两点恰好分别到达点A、B，又运动a秒时，P、Q两点分别到达点E、F，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点R从点E出发沿数轴向右运动，当点R运动3秒时，点R与点Q在M点相遇，此时点P和点M的距离为5个单位长度，点M和点C的距离为2个单位长度，求点R的速度21（10分）（2022秋山西临汾七年级统考期中）已知点P，A，B是数轴上的三个点若点P到原点的距离等于点A，B到原点距离之和的一半，则称点P为点A，B的“关联点”（1）已知点A在数轴上表示的数是1，点B在数轴
7、上表示的数是，点，在数轴上表示的数分别是，0，2其中是点A，B的“关联点”的是_；（2）已知点A在数轴上表示的数是3，点B在数轴上表示的数是b，点P为点A，B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，求b的值；（3）已知点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B若点P与点B之间的距离表示为，点P与点A之间的距离表示为，当点P为点A，B的“关联点”时，直接写出的值22（10分）（2023秋江苏南通七年级统考期末）对于数轴上的线段与不在线段上的点，给出如下定义：若点与线段上的一点的距离等于，则称点为线段的“距点”已知：数轴上点A，B两点表示的数分别是，（1）当时，在，三个数中
8、，_是线段的“2距点”所表示的数；（2）若数轴上的点为线段的“距点”，则的最大值与最小值的差为_；（3）若数轴上所对应的点是线段的“距点”，且的最大值与最小值的比为，求的值23（10分）（2022秋四川成都七年级校考期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度，已知点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，阅读以上材料，回答以下问题：（1）若数轴上表示和的两点之间的距离是4，则_；（2）
9、当的取值范围是多少时，代数式有最小值，最小值是_；（3）若未知数，满足求代数式的最大值，最小值分别是多少？24（12分）（2023秋江苏镇江七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？【问题探究】（1）观察分析（特殊）：当，时，A，B之间的距离；当，时，A，B之间的距离 ；当，时，A，B之间的距离 ；（2）一般结论：数轴上分别表示有理数
10、，的两点A，B之间的距离表示为 ；【问题解决】（3）应用：数轴上，表示和3的两点A和B之间的距离是5，试求的值；【问题拓展】（4）拓展：若，则 若，则 若，满足，则代数式的最大值是 ，最小值是 参考答案1A【分析】按照有理数、整数、分数的概念进行判断即可得出答案解：有理数可分为整数和分数，故A选项正确，符合题意；整数可分为：正整数，0，负整数，故B选项错误，不符合题意；分数可分为：正分数，负分数，故C选项错误，不符合题意；有理数可分为整数和分数，故D选项错误，不符合题意；故选：A【点拨】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识2D【分析】与点距离为4的点
11、有两个，分别在点左侧4个单位长度和点右侧4个单位长度解：，点表示的数是5或，故选：D【点拨】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键3C【分析】分类讨论：点C在线段上和点C在射线上两种情况解：分两种情况：点C在线段上，则；点C在线段的延长线上，故选C【点拨】本题考查了两点间的距离需要分类讨论，以防漏解4D【分析】根据点在数轴上的位置，利用分类讨论得出答案解：点、表示的数分别为、，且点到点的距离为，当点在点的左侧时，点表示的数是，此时点与点的距离是，当点在点的右侧时，点表示的数是，此时点与点的距离是，点与点的距离为或，故选：D【点拨】此题主要考查了数轴的有关知识点
12、，分情况讨论得到点表示的数是解题关键5B【分析】设数轴上与表示的点的距离为个单位的点表示的有理数是，再根据数轴上两点间的距离公式求出的值即可解：设数轴上与表示的点的距离为个单位的点表示的有理数是，则，解得：或故选：B【点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离，解绝对值方程；熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键6D【分析】根据绝对值的性质化简即可求出答案解：当时，令，解得：；当时，恒为4，此时整数；当时，令，解得：综上，整数可能为、0、1，共有5个故选：D【点拨】本题考查了绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义及性质，利用绝对值的性质解题是关键7D【分析】先求得点A在数轴上表示的数，再根据平移，求
13、得点B表示的数，即可求解解：点A是数轴上的一点，它到原点的距离为3，则点A在数轴上表示的数为或当点A在数轴上表示的数为时，把点A向左平移7个单位后，再向右平移5个单位得到点B，则点B表示的数为，点B到原点的距离为，当点A在数轴上表示的数为时，把点A向左平移7个单位后，再向右平移5个单位得到点B，则点B表示的数为，点B到原点的距离为，故选：D【点拨】此题考查了绝对值的含义，数轴上点的平移，解题的关键是正确确定点B表示的数8C【分析】先得到，再分当时，当时，两种情况讨论求解即可解：，当时，则；当时，则；故选C【点拨】本题主要考查了化简绝对值，利用分类讨论的思想求解是解题的关键9D【分析】根据绝对值
14、的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和解：，或，或，当时，等价于，即，或，或；当时，等价于，即，或，或，故或或或，所有满足条件的数的和为：故答案为：D【点拨】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏10D【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答.解：当时，不符合题意；当时，符合题意；当时，不
15、符合题意；所以故选D【点拨】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键.11或【分析】根据题意得到点所表示的数是，根据两点间的距离，求得点所表示的数解：点到原点的距离等于，点所表示的数是，点到点的距离是，且在的左边，点表示的数是：或，综上所述，点表示的数是或，故答案为：或【点拨】此题考查数轴，解题的关键是数形结合思想，进行分类讨论12 1 或4【分析】（1）根据A、B表示的数互为相反数，得到的中点即为原点的位置，进而得到点C表示的数即可；（2）根据数轴上两点间的距离公式，即可得到点D表示的数解：（1）点A、B表示的数互为相反数，则：的中点即为原点的位置，如图所示：点C表
16、示的数为：；故答案为：1；（2）由（1）知，点C表示的数为：，当在点C左侧时，点表示的数为：；当在点C右侧时，点表示的数为：；综上：点表示的数为或4；故答案为：或4【点拨】本题考查数轴上两点间的距离解题的关键是根据题意，确定数轴上原点的位置13、1或【分析】分在左侧，右侧，重合，三种情况分类讨论即可；解：当重合时，即表示的数是1时， 满足题意；当不重合时，为的中点，在左侧时：表示的数是：；在右侧时：表示的数是：；综上：点在数轴上表示的数是、1或；故答案为：、1或【点拨】本题考查数轴上两点间的距离根据题意，正确的画图，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键14或或14【分析】依据“和谐三点”的
17、定义，分点P在点A的左侧，在A、B之间，在点B的右侧三种情形解答即可，数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差，大减小解：设点P表示的数为x，点A表示的数为，点B表示的数为3， 当点P在点A的左侧时，A、B、P三个点是“和谐三点”，；当点P在A，B之间时，A、B、P三个点是“和谐三点”，；当点P在点B的右侧时，A、B、P三个点是“和谐三点”，综上所述，符合“和谐三点”的点P表示的数为：或或14故答案为：或或14【点拨】本题主要考查了数轴，定义新概念等，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，定义的新概念的意义，分类讨论，解一元一次方程15 3 或3【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式
18、计算即可求解；（2）分情况讨论，去绝对值，再解方程即可求解解：（1），故答案为：3；（2）当时，；当时，此时方程无解，舍去；当时，故答案为：或3【点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离以及解绝对值方程的知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键16或 【分析】先利用绝对值的非负性，求出点A、点B所对应的数分别为，再根据数轴上的两点之间的距离的定义得到或 ，然后针对x的取值范围进行分类讨论即可解：，即 ，相差2， 或，当时，时，无解；时，解得，时，无解；当时，时，无解，时，解得，时，无解；综上所述，x的值为：或 ，故答案为：或 【点拨】本题考查了绝对值的性质和绝对值的几何意义，解决本题的关键是会进行
19、分类讨论177【分析】根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入即可解答解：，三个数中有两负一正，当，为负，为正数时，；当，为负，为正数时，；当，为负，为正数时，；共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，故答案为：7【点拨】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质以及分类讨论思想是解题的关键18或【分析】由得，所以，再由，得，得，所以，或，再求点P表示的数即可解：，又，或，当，时，点在数轴上且与点A、点B的距离相等，点P表示的数为；当，时，点在数轴上且与点A、点B的距离相等，点P表示的数为；点P表示的数为或故答案为：或【点拨】本题考查了数轴上的点所表示的数及中点的性质，熟练掌握绝对
20、值的相关概念及运算法则是解题的关键19（1）；（2）5或【分析】（1）根据、所对应的数，为原点，确定；结合、两点间的距离是3，且在左侧，确定，依据数轴写出点对应的数即可；（2）利用两点间的距离公式，分点在点的右侧时或点在点的左侧，两种情况讨论（1）解：（1）如图： 点对应的数是（2）因为、两点间的距离是7，当点在点的右侧时，表示的数为：当点在点的左侧时，表示的数为：， 即表示的数是5或【点拨】本题考查了是数轴上点及两点间的距离公式；解题的关键是掌握距离等于两个数的差的绝对值或直接用右边的数减去左边的数20（1）；（2）或；（3）【分析】（1）根据平方、绝对值的非负性求出a，b的值，在根据数轴上
21、两点之间的距离公式求解即可；（2）设运动时间为t秒，P点对应的数为，Q点对应的数为，根据题意及数轴两点之间的距离公式建立方程求解即可；（3）根据题意求出点C，可知a秒后，P点运动的路程为，Q点运动的路程为，再运动a秒后，E点对应的数为，F点对应的数为，根据题意求出a值，从而的得到M的值，计算即可（1）解：，A、B两点之间距离为：5；（2）（2）设运动时间为t秒，P点对应的数为，Q点对应的数为，的长度为，的长度为；当时，的长度是的2倍，（舍），与相矛盾；当时，同上可解得：，符合题意；当时，同上可解得：，符合题意；运动秒或秒时点P到点A的距离是点O到点B距离的2倍；（3）设C点对应的数为c，根据题
22、意可得：，解得，此时可知a秒后，P点运动的路程为，Q点运动的路程为，再运动a秒后，E点对应的数为，F点对应的数为，当调转方向再运动3秒后，P ，Q未相遇，Q与R相遇，且P与R相距5个单位长度，则可知，3秒后P、Q相距5个单位长度，则3秒内，P ，Q共运动5个单位长度，所以，根据题意，点R和点Q在M点相遇，点M与点C相距2个单位长度，可知点M对应的点为，则R点3秒运动的距离为，则R点的速度为单位长度/秒【点拨】本题考查了平方和绝对值的非负性、数轴上的两点间的距离的计算方法、及数轴上点的运动情况和两点间的距离公式，熟记数轴两点之间的距离公式及绝对值的几何意义是解题的关键21（1），；（2）7或；（
23、3）0或4【分析】（1）求出点A到原点的距离是1，点B到原点的距离是，可得点A，B的“关联点”是和，然后可得答案；（2）根据“关联点”的定义求出点B到原点的距离为，进而可得答案；（3）首先求出点B表示的数为，然后根据“关联点”的定义求出点P到原点的距离为，可得点P表示的数为或，然后分情况求解即可（1）解：因为点A在数轴上表示的数是1，点B在数轴上表示的数是，所以点A到原点的距离是1，点B到原点的距离是，所以点A，B到原点距离之和的一半是，所以点A，B的“关联点”是和，即，故答案为：，；（2）因为点P为点A，B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，所以点A，B到原点的距离之和为，因为点A表示的数
24、是3，所以点A到原点的距离为3所以点B到原点的距离为，所以点B表示的数是7或，所以b的值为7或（3）由题意得：点B表示的数为，所以点A，B到原点的距离之和为，因为点P为点A，B的“关联点”，所以点P到原点的距离为，所以点P表示的数为或，当点P在原点的右侧，即点P表示的数为时，所以；当点P在原点的左侧，即点P表示的数为时，所以，综上所述，的值为0或4【点拨】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离公式，正确理解“关联点”的定义，注意分类讨论思想的应用是解题的关键22（1）；（2）1；（3）或【分析】（1）根据题意可得，线段的“2距点”所表示的数在点A的左边或点B的右边，根据题意，分别求出与，三个数距
25、离两个单位长度的点，再判断是否在线段上即可；（2）根据“距点”的定义，可得点P到线段上的点距离最大值和最小值分别为和之间的距离，即可求解；（3）根据题意，进行分类讨论，即可求解（1）解：当时，点A表示1，点B表示2，与距离为2的点表示的数为：或，都不在线段上，不符合题意；与距离为2的点表示的数为：或，1在线段上，符合题意，故是线段的“2距点”所表示的数；与距离为2的点表示的数为：或，都不在线段上，不符合题意；故答案为：（2）点P到点A的距离为，点P到点B的距离为，故答案为：1（3）设为点Q所表示的数，当点Q在点A左侧时：，的最大值与最小值的比为，解得：，；当点Q在点B右侧时：，的最大值与最小值
26、的比为，解得：，解得：，综上：或【点拨】本题主要考查了数轴上的点以及数轴上点与线段的距离，解题的关键是正确理解题意，根据题意和图形进行解答23（1）或1；（2），5；（3）代数式的最大值为8，最小值为1【分析】（1）根据题意得绝对值方程，求解即可；（2）若代数式取得最小值时，表示在数轴上找一点，到和的距离之和最小，据此即可得到答案；（3）同（2）分别得出的最小值和的最小值，从而得出和的范围，则问题得解（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是4，解得：或，故答案为：或1；（2）解：当时，则，当时，当时，则，若代数式取得最小值时，表示在数轴上找一点，到和的距离之和最小，当时，有最小值，为5，故答案
27、为：5；（3）解：同（2）可得：当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最小值，最小值为，代数式的最大值为8，最小值为1【点拨】本题考查了数轴上的点与点之间的距离、化简绝对值及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及绝对值的运算法则是解题的关键24（1）7，3；（2）；（3）或；（4）40或86，0【分析】（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离即可；（2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为；（3）解绝对值方程即可；（4）解绝对值方程即可；分三种情况分类讨论解方程；先求出，的取值范围，然后计算解题解：（1）； 故答案为：7，3（2）一般结论：数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为，故答案为：（3） ，解得： 或；（4），即，解得：；故答案为：4若，当时，解得；当时，方程无解；当时，解得；故答案为：8或0由题可知，又，即，代数式的最大值是最小值是，故答案为：6，0【点拨】本题考查数轴上两点之间的距离，解题的关键是了解数轴上两点间的距离的含义，利用数形结合、从特殊到一般的数学思想结合解决问题
