1、专题09 倍长中线模型综合应用（知识解读）【专题说明】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。【方法技巧】 类型一：直接倍长中线 ABC中AD是BC边中线 方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 类型二：间接倍长中线 作CFAD于F， 作BEAD的延长线于E
2、连接BE 。 延长MD到N， 使DN=MD，连接CN 【典例分析】【典例1】如图，在ABC中，ABa，ACb，a，b均大于0，中线ADc，求c的取值范围【典例2】已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF【典例3】如图，ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DEDF，求证：BE+CFEF【变式1】如图，在ABC中，AC3，AB5，点D为BC的中点，且ADAC，则ABC的周长为 【变式2】如图，在ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AFBD，若BD3，AC5，则CD的长为 【变
3、式3】如图，在RtABC中，BAC90，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DFDE交AC于点F，连接EF，若BE2，CF，则EF的长为 【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB8，BC9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF2FC，AF与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长【变式5】如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为BC，AB上的点，且点F为AB的中点，连接DF，DE（1）如图，若DF平分ADE，求证：AD+BEDE；（2）如图，若四边形ABCD是边长为4的正方形，当ED平分FDC时，求EC的长【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务如图，圆内接四边形的对角线ACBD，
4、垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点下而是部分证明过程：ACBD，EFAD，EGD+FGC90，EGD+EDG90，EDGFGCADBACB，任务一：请将上述过程补充完整；任务二：如图，在ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90得到EC连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N（1）求证：MNDE；（2）若AC4，AB6，CAB30，求DE的长专题09 倍长中线模型综合应用（知识解读）【专题说明】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线所谓倍长中线法，就是
5、将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。【方法技巧】 类型一：直接倍长中线 ABC中AD是BC边中线 方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 类型二：间接倍长中线 作CFAD于F， 作BEAD的延长线于E连接BE 。 延长MD到N， 使DN=MD，连接CN 【典例分析】【典例1】如图，在ABC中，ABa，ACb，a，b均大于0，中线ADc，求c的取值范围【解答】解：
6、延长AD到E，使ADDE，连接BE，ADDE，ADCBDE，BDDC，ADCEDB（SAS），BEACb，在AEB中，ABBEAEAB+BE，即ab2ADa+b，c【典例2】已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得ADDG，连接BGAD是BC边上的中线（已知），DCDB，在ADC和GDB中，ADCGDB（SAS），CADG，BGAC又BEAC，BEBG，BEDG，BEDAEF，AEFCAD，即：AEFFAE，AFEF【典例3】如图，ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE
7、DF，求证：BE+CFEF【解答】证明：如图，延长ED使得DMDE，连接FM，CMBDDC，BDECDM，DEDM，BDECDM（SAS），BECM，DEDM，DFEM，FEFM，CM+CFFM，BE+CFEF【变式1】如图，在ABC中，AC3，AB5，点D为BC的中点，且ADAC，则ABC的周长为 【解答】解：延长AD到E，使ADDE，连接BE，D为BC的中点，BDCD，ADCBDE，ADCEDB（SAS），ACBE3，DACE，ADAC，DAC90，E90，AE4，ADDE2，BD，BC2BD2，ABC的周长为AB+AC+BC5+3+28+2故答案为：8+2【变式2】如图，在ABC中，点E
8、是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AFBD，若BD3，AC5，则CD的长为 【解答】解：延长DE至H，使EHDE，连接AH，AFBD，BD3，AC5，CFACAF532，在BED和AEH中，BEDAEH（SAS），AHBD，DH，AFBD，AHAF，AFHH，CFDD，CDCF2，故答案为：2【变式3】如图，在RtABC中，BAC90，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DFDE交AC于点F，连接EF，若BE2，CF，则EF的长为 【解答】解：如图，延长FD到G使GDDF，连接GE，BG，在BDG和CDF中，BDGCDF（SAS），BGCF，GBDC，BGCA，EB
9、GA90，BE2，EG，DFDE，DFDG，EFEG，故答案为：【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB8，BC9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF2FC，AF与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长【解答】解：如图，过点F作FMAD于M，交ED于O，则FMAB8，BF2FC，BC9，BFAM6，FCMD3，AF10，OMAE，点E为AB的中点，OM，OFFMOM8，AEFO，AGEFGO，AG，GH=10-4-=【变式5】如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为BC，AB上的点，且点F为AB的中点，连接DF，DE（1）如图，若DF平分ADE，求证：AD+BEDE；（2）如图，若四
10、边形ABCD是边长为4的正方形，当ED平分FDC时，求EC的长【解答】（1）证明：延长DF，CB交于G，如图：四边形ABCD为平行四边形，ADCB，ADGG，DF平分ADE，ADGEDG，GEDG，DEGEGB+BE，F是AB中点，AFBF，在ADF和BGF中，ADFBGF（AAS），ADGB，DEAD+BE；（2）解：延长AB，DE交于H，如图：四边形ABCD是边长为4的正方形，点F为AB的中点，DF2，ABCD，CDEH，ED平分FDC，CDEFDE，FDEH，FHDF2，BHFHBF22，C90HBE，DECHEB，DCEHBE，即，解得CE22EC的长为22【变式6】阅读下面材料，并按
11、要求完成相应的任务如图，圆内接四边形的对角线ACBD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点下而是部分证明过程：ACBD，EFAD，EGD+FGC90，EGD+EDG90，EDGFGCADBACB，任务一：请将上述过程补充完整；任务二：如图，在ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90得到EC连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N（1）求证：MNDE；（2）若AC4，AB6，CAB30，求DE的长【解答】解：任务一：ACBD，EFAD，EGD+FGC90，EGD+EDGEDGFGCADBACB，ACBCGF，CFFD，同理BFFG，BFCF，点F为BC的中点；任务二：（1）证明：延长CM到F使MFCM，AMMB，ACBF是平行四边形，AFBCCE，AFBC，CAF+ACB180，DCE+ACB180，CAFDCE，DCAC，DCECAF（SAS），DACF，ACF+DCN90，D+DCN90，DNC90，MNDE；（2）解：作CGAB于G，CAB30，AC4，CG2，AG2，AMAB3，GM，CM2CG2+GM2，CM222+（）2，CM，DCECAF，DECF2
