1、专题09 二次函数与胡不归综合应用（知识解读）【专题说明】 “PA+kPB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；前面几何模型中我们已经学习了“胡不归”解题方法。本章节继续学习二次函数与胡不归综合应用。【方法技巧】胡不归问题识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段）方法：1、将所求线段和改为的形式（）2、作，使 3、过点B作交AC于点P4、的最小值转化为垂线段的长注意：当k1时，【典例
2、分析】【典例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 ；【典例2】如图1，抛物线yx2+（m2）x2m（m0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C连接AC，BC且ABC的面积为8（1）求m的值；（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使ATC60求（t1）2的值（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标【变式1】如图，
3、已知抛物线yx24x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C若点Q为线段OC上的动点，求AQ+CQ的最小值所有【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线yx+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B若定点P的坐标为（0，6），点Q是y轴上任意一点，则PQ+QB的最小值为 【变式3】二次函数yax22x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，3）（1）a，c ；（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；专题09 二次函数与胡不归综合应用（知识解读）【专题说明】 “PA+kPB”型的最值问题是近几年中考考查的热
4、点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；前面几何模型中我们已经学习了“胡不归”解题方法。本章节继续学习二次函数与胡不归综合应用。【方法技巧】胡不归问题识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段）方法：1、将所求线段和改为的形式（）2、作，使 3、过点B作交AC于点P4、的最小值转化为垂线段的长注意：当k1时，【典例分析】【典例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，），C
5、（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 ；【解答】解：（1）由题意解得，抛物线解析式为yx2x，yx2x（x）2，顶点坐标（，）（2）如图1中，连接AB，作DHAB于H，交OB于P，此时PB+PD最小理由：OA1，OB，tanABO，ABO30，PHPB，PB+PDPH+PDDH，此时PB+PD最短（垂线段最短）在RtADH中，AHD90，AD，HAD60，sin60，DH，PB+PD的最小值为故答案为【典例2】如图1，抛物线yx2+（m2）x2m（m0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交
6、于点C连接AC，BC且ABC的面积为8（1）求m的值；（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使ATC60求（t1）2的值（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标【解答】解：（1）yx2+（m2）x一2m（x2）（x+m），令y0，则x2或xm，m0，m0，A（m，0），B（2，0），AB2+m，令x0，则y2m，C（0，2m），ABC的面积为8，（2+m）（2m）8，解得m2或m4（舍）；（2）当m2时，yx24，的横坐标为t，T（t，t24），过点C作EFx轴，过点T作TFEF交于F点，过点C作CDCT交直线AT
7、于点D，过点D作DEEF交于E点，DCT90，DCE+TCF90，DCE+CDE90，TCFCDE，CEDTFC，ATC60，C（0，4），CFt，TFt2，DEt，CEt2，D（t2，t4），设直线AT的解析式为ykx+b，解得，y（t2）x+2t4，t4（t2）（t2）+2t4，（t1）2；（3）过点B作BGAC交于G点，交y轴于点P，A、B关于y轴对称，APBP，GBA+BACACO+CAO90，ABGACO，AO2，CO4，AC2，sinACO，CPGP，CP+AP（CP+AP）（GP+AP）BG，cosACO，BG，CP+AP的最小值为8，tanACO，OP1，P（0，1）【变式1】
8、如图，已知抛物线yx24x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C若点Q为线段OC上的动点，求AQ+CQ的最小值所有【解答】解：在第二象限内作OCD30，CD与y轴交于点D，过点Q作QPCD于点P，连接AP，则ODC60，令x0，得yx24x+33，C（0，3），令y0，得yx24x+30，解得x1或3，A（1，0），B（3，0），OA1，OC3，ODOCtan30，AD+1，OCD30，PQ，AQ+CQAQ+PQAP，当A、Q、P三点依次在同一直线上，且APCD时，AQ+CQAQ+PQAP的值最小，此时APADsin60，AQ+CQ的最小值为【变式2】如图，在平面直角坐标系
9、中，直线yx+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B若定点P的坐标为（0，6），点Q是y轴上任意一点，则PQ+QB的最小值为 【解答】解：过点P作直线PD与y轴的夹角OPD30，作B点关于y轴的对称点B，过B点作BEPD交于点E、交y轴于点Q，BEPD，OPE30，QEPQ，BQBQ，PQ+QBQE+BQBE，此时PQ+QB取最小值，OPD30，POD90，PD2OD，ODP60，P的坐标为（0，6），PO6，OD2+（6）2（2OD）2，OD6，直线yx+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B，A（0，4），B（4，0），OB4，OB4，BD10，BEPD，ODP60，EBD30，DEBD5
10、，BE5，PQ+QB取最小值为5，故答案为：5【变式3】二次函数yax22x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，3）（1）a，c ；（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，3）代入yax22x+c得到，解得故答案为1，3（2）如图1中，作PHBC于HOBOC3，BOC90，PCH45，在RtPCH中，PHPCDP+PC（PD+PC）（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH，在RtDHB中，BD4，DBH45，DHBD2，DP+PC的最小值为24
