1、广东省2021届六校第三次联考数 学 试 题（满分 150分。考试时间 120 分钟。）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题
2、卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合则（ ）A. B. C. D.2.已知复数满足，则复数的模（ ） A. B. C. D.3.做志愿者参与社区服务是学生参加社会公益活动的主要途径. 某个星期日有4名学生志愿者随机平均分配到A、B两个社区进行垃圾分类宣传活动，则其中甲乙两人都被分配到A社区的概率是（ ）A. B. C. D. 4. 二项式展开式中常数项是（ ）A. B. C. D. 5.使得“”成立的一个必要且不充分的条件是（ ）A. B. C. D.6. 已知, 则在上
3、的零点个数是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 随着国家对环保的重视，地方政府积极兴建生活垃圾无害化处理厂。下表是近年来广东省的数据表:用线性回归方程模型拟合垃圾处理厂数量y与年份代号t的关系，用公式计算得, 相关系数, 据此可估计2022年广东市辖区生活垃圾无害化处理厂数量为（ ）（结果四舍五入）A118 B. 126 C. 129 D.1348. 已知抛物线的焦点为，过的直线与圆交于两点，则的值是（ ）A. B. C. D. 不确定的二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
4、。9. 已知空间中异面直线所成的角为，若过空间中某点A的直线与所成的角都 为，则（ ）A. 满足直线有且只有1条 B. 满足的直线有且只有1条 C. 满足的直线有且只有1条 D. 10. 已知函数，则（ ）A.是周期为的周期函数 B.的值域是 C.将的图像向左平移个单位长度后，可得一个奇函数的图像D.在上单调递增11. 若则（ ） A. B. C. D. 12. 大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,其前10项依次是,此数列记为,其前项的和记为，则（ ） A.B.C.D
5、.三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是_.14. 利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形，图象形似右图所示的函数称为m型函数，写出一个定义域为且值域为的m型函数是_.15.九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑的四个直角三角形中，是和的斜边，且所有直角三角形斜边长分别为 ，它的所有顶点都在球的球面上，则球的体积为_.16. 已知双曲线的两焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线交于两点，若且为等腰三角形，则双曲线的离心率为_.四、解答题：本题共6小题，
6、共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （10分）在,这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中正整数存在，求的值；若问题中的正整数不存在，说明理由.问题：已知等差数列的前项和为，各项为正的等比数列的前项和为，, , 且_，是否存在正整数使成立?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. （12分）在中, 内角的对边分别为，,点为边上一点, .(1)求; (2)求的面积.19. （12分）某企业办有甲乙两个工厂，为了解其工人的生产能力以及生产效益情况，现用分层抽样的方法，分别从甲乙两个工厂的工人中抽取100名、50名进行测评，并根据5项最重要的指标评分合计出
7、每名工人的生产能力总分.由测评可知，工人月生产效益与生产能力密切相关，统计结果如下表：生产能力总分 (分)0,60)60,70)70,80)80,90)90,100月生产效益 (元)1000015000200002500030000工人的生产能力总分测评结果统计如下： 将生产能力总分落入相应组别的频率视为该工人对应生产能力的概率，假设每名工人生产能力相互独立.（1） 若某工人生产能力总分不少于80分，则评定其为生产能手.现从甲工厂随机选取一名工人，估计此工人是生产能手的概率；（2） 随机从甲工厂中选取1名工人，用X表示其月生产效益，求X的分布列及数学期望；（3） 该企业拟以月生产效益均值为标准
8、对甲乙两个工厂的工人进行考察，并对生产效益相对较好的工厂工人进行奖励，对生产效益较差的工厂工人进行技能培训，请依据抽测结果给出决策方案。20. （12分）如图，在四面体中，二面角是直二面角， 为的中点,点为线段上一点，且. （1）求证：平面;（2）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值.21. （12分）已知（1）讨论的单调性;（2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围.22. （12分）已知椭圆经过点且焦距为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线L与椭圆交于两点， 求的最小值；（3）右图是椭圆旋转一定角度的图形，请写出一种尺规作图方案以确定其对称中心的位置，并在答卷的图中画
9、出来,（不必说明理由）. 2021届六校第三次联考数学试题答案考试时间：120分钟 满分150分一、单项选择题1.A 2.B 3. C 4.D 5.A 6.D 7.B 8. A 二、多项选择题 9.ACD 10.AC 11.ACD 12 .ABD三、填空题13. 14.等 15. 16. 部分详解：14. 或或,.其中之一均可.16.答：有两种情况当ABAF1时，如左图， 当ABBF1时，如右图，四、解答题17.详解： 方案一：选是等差数列，其前项和为，设其公差为.，.4分等比数列 的前项和为，设其公比为, , ，.8分所以存在正整数使,.10分方案二：选各项为正的等比数列 的前项和为，设其公
10、比为., （舍去负的），.4分是等差数列，前项和为，设其公差为.，.8分所以存在整数使,.10分方案三：选各项为正的等比数列 的前项和为，设其公比为., （舍去负的），.4分是等差数列，前项和为，设其公差为.，.8分是单调递增的，且.所以存在唯一的正整数使.10分18.详解:（1）已知，用正弦定理得: .2分（2） 在中用余弦定理得 .8分又19.详解：（1）根据所给甲工厂频率分布直方图可知，生产能力总分8090的频率为0.0210=0.2，生产能力总分90100的频率为0.01510=0.15，将测评生产能力总分落入各组频率视为概率，则从该工厂随机选取一名工人其生产能力总分超过80分概率是0
11、.2+0.15=0.35，即他是生产能手的概率为0.35 .3分（2）据甲厂频率分布直方图可知甲工厂工人在各组相应的频率如下表生产能力总分 (分)0,60)60,70)70,80)80,90)90,100频率0.10.250.30.20.15.5分随机从甲工厂中选取1名工人，用X表示其月生产效益，则X的分布列：X (元）1000015000200002500030000概率0.10.250.30.20.15 .6分所以X的数学期望值E(X)=100000.1+150000.25+200000.3+250000.2+300000.15=20250(元）.8分（3） 由（2）知甲工厂工人月生产效益
12、均值即数学期望E(X)=20250(元） 根据频率分布直方图知乙工厂工人生产能力总分频率分布表：生产能力总分 (分)0,60)60,70)70,80)80,90)90,100频率0.040.20.40.240.12 由此可得乙工厂工人生产效益Y的分布列：Y (元）1000015000200002500030000概率0.040.20.40.240.12 所以乙工厂工人月生产效益均值 E(Y)=100000.04+150000.2+200000.4+250000.24+300000.12=21000（元）.10分因为E(Y)E(X),所以推断乙工厂工人月均生产效益比甲的好,所以应对乙工厂工人进行
13、奖励，对甲工厂工人进行技能培训. .12分 20.详解：（1）证明：,为的中点.1分又因为直二面角即平面平面,平面平面平面.2分平面.3分又因,平面,平面,平面.5分（2） 连接，为的中点.由(1)平面可以分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图。.6分 又，.7分由(1)可知平面为平面的一个法向量,.8分设平面的一个法向量为，则.9分,可取.10分设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则.11分.12分21.详解：（1） 在R上单调递增.当在上单调递增；当时, 在上单调递减；在上单调递增.3分 （2）定义域是；函数在定义域上单调递增的充要条件是恒成立. .4分法一： 恒成立 .5分令则在R单
14、调递增，.7分当时， 事实上，取，又 .9分在单调递减，在单调递增.综上可知为所求.12分 法二： 法三：先证明，证明如下： 22.详解：（1）依条件知，椭圆的焦点在轴上，长半轴为，短半轴为，且焦距.，椭圆的两焦点分别为.椭圆经过点（2）法一：设，线段的中点为, 则.4分当直线L不垂直于轴时，设直线L的斜率为, 则直线L方程为,， .6分又中点在直线L（即MN）上，所以，.7分当直线L垂直于轴时，L过，此时也满足上式.（3）作图方案步骤如下：先做两组平行的弦AB/CD，AE/DG;再分别作出四弦的中点M，N，P，Q；再过每组平行弦中点作直线MN,PQ；作直线MN,PQ的交点O，O即为所求.如图示 .12分 理由如下（不必写出），设O为对称中心，则其他方案只要合理即可.法二：设，线段的中点为.当直线L垂直于y轴时，L 即x轴，当直线L垂直于轴时，此时.当直线L不垂直于轴时，直线L过，可设直线L方程为由 法三：第 17 页 共 17 页
