1、专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。模型1.双角平分线模型（导角模型）【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。【模型图示】条件：BD，CD是角平分线. 结论： 1（2022广东九年级专题练习）BP是ABC的平分线，CP是ACB的邻补角的平分线，ABP=20，ACP=50，则P=（）A30B40C50D602
2、（2022山东济南中考模拟）如图1，在ABC中，BAC的平分线AD与BCA的平分线CE交于点O(1)求证：AOC90ABC；(2)当ABC90时，且AO3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明3.（2022蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究（1）如图1，在ABC中，ABC与ACB的平分线交于点P，A64，则BPC ；（2）如图2，ABC的内角ACB的平分线与ABC的外角ABD的平分线交于点E其中A，求BEC（用表示BEC）；（3）如图3，CBM、BCN为ABC的外角，CBM、BCN的平分线交于点
3、Q，请你写出BQC与A的数量关系，并说明理由（4）如图4，ABC外角CBM、BCN的平分线交于点Q，A64，CBQ，BCQ的平分线交于点P，则BPC ，延长BC至点E，ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则R 4（2022辽宁沈阳九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在ABC中，A=60，图1-3的ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，O；如图2，O；如图3，O；(2)如图4，点O是ABC的两条内角平分线的交点，求证：O90+A(3)如图5，在ABC中，ABC的三等分线分别与ACB的平分线交于点O1O2，若1115，2135，求A的度数模型2.
4、角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。【模型图示】已知如图1，为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作/或/即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题. 如图1 如图2已知如图2，OC平分，点D是OA上一点，过点D作DE/OC交OB的反向延长线于点E，则OD=OE.注意：平行线、角平分线、等腰知二推一即：ADBC+AC是BAD的角平分线ABC是等腰三角形；ADBC+ABC是等腰三角形AC是BAD的角平分线
5、；AC是BAD的角平分线+ABC是等腰三角形ADBC。常见模型：1（2022安徽二模）如图，在中，与的平分线BD，CD交于点D，过点D作，分别交AB，AC于点E，F若，则AE的长为（）A2.5B4.5C3.75D6.752（2022重庆九年级专题练习）如图，ABC中，ABC与ACB的平分线交于点F，过点F作DE/BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：BDF和CEF都是等腰三角形；DEBD+CE；ADE的周长等于AB与AC的和；BFCF；若A80，则BFC130其中正确的有_（填正确的序号）4（2022沈阳市九年级专项训练）已知：如图，ACD是ABC的一个外角，CE、CF分别平分ACB
6、、ACD，EFBC，分别交AC、CF于点H、F求证：EH=HF4（2022河南南阳三模）阅读理解：如图（1），ABC中，以B为圆心，以适当长为半径画弧，与BC和BA分别交于点X，Y再分别以点X，Y为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD与AC交干点E，过点E作交AB于观察思考：依据上述操作可，ABE与CBE的大小关系为_；BF与EF的数关系为_拓展延伸：如图（2）在ABC中，ABC的平分线与三角形外角ACG的平分线交于点D，过D作分别交AC，AB于点E，F，请判断EF与BF，CE之间的数量关系，并说明理由问题解决：如图（3），在中，连接BD，将ABD沿BD折叠，使点A落在直线DC上
7、方的处，当DC是直角三角形时，请直接写出线段AB的长度模型3.面积模型【模型解读与图示】 已知条件：、分别是ABC、ACB、BAC的平分线辅助线：过点G作GDBC、GEAC、FGAB（求面积需要高，作垂直得到高）结论：1（2022内蒙古九年级期末）如图，的三边，长分别是，其三条角平分线将分为三个三角形，则：等于（）A： B： C： D：2（2022安徽滁州二模）如图，的面积为，的平分线与垂直，垂足为点，那么的面积为_3（2022湖北武汉九年级期中）问题背景：角平分线上的点到角两边的距离相等若一个多边形的每个内角角平分线都交于一点，点叫做该多边形的内心，点到其中一边的距离叫做问题解决：如图1，在
8、面积为的中，内心到边的距离为，试说明类比推理：如图2，存在内心的四边形面积为，周长为，用含有与的式子表示内心到边的距离_；理解应用：如图3，在四边形中，对角线，点与分别为与的内心，它们到各自三角形的边的距离分别为和，求的值模型4.角平分线定理模型（角平分线分线段成比例（二级结论）【模型解读与图示】条件：已知如图，AD是BAC的角平分线，证明思路：过点D作DEAB,DFAC,再利用等面积的思路，证得：简证：， 1（2021黑龙江大庆中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线
9、，则的边上的中线长的取值范围是_2（2022北京东城九年级期中）请阅读下面材料，并回答所提出的问题三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例已知：如图，ABC中， AD是角平分线求证：证明：过C作CEDA，交BA的延长线于E AD是角平分线， 又， （1）上述证明过程中，步骤处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比请你通过研究ABD和ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理3（
10、2022江西赣州九年级期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形中，或，则四边形是“对补四边形”(1)【概念理解】如图（1），四边形是“对补四边形”若，则D的度数是_；若，且，则_(2)【拓展延伸】如图（2），四边形是“对补四边形”，当，且时，猜测，之间的数量关系，并加以证明(3)【类比运用】如图（3），如图（4），在四边形中，平分如图（3），求证：四边形是“对补四边形”；如图（4），设，连接，当，且时，求的值4（2022广西九年级专题练习）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论如图1，已知AD是ABC的角平分线，可证小慧的证
11、明思路是：如图2，过点C作CEAB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明；(2)应用拓展：如图3，在RtABC中，BAC90，D是边BC上一点连接AD，将ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处若AC1，AB2，求DE的长；若BCm，AED，求DE的长（用含m，的式子表示）课后专项训练1（2022广东佛山市南海区石门实验学校三模）如图，RtABC中，C90，BD平分ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB12，CD3，则DBE的面积为（）A10B12C9D62（2022山东枣庄二模）如图，、分别平分、，的周长为18，则的
12、面积为（）A18B30C24D273（2022福建模拟预测）如图，ABC外的一点P到三边所在直线的距离相等，若BAC80，则CPB_4（2022山东济宁二模）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，则_5（2022苏州九年级期中）如图，在中，、分别平分、，M、N、Q分别在、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_6.（2020山东九年级期中）如图、ABC的平分线BF与ABC中ACB的外角ACG的平分线CF相交于点F.过F作DFBC，交AB于D,交AC于E，若BD8，DE3，则CE的长度为_；7（2021福建中考真题）如图，是的角平分线若，则点D到的距离是_8（2022北京九年级专题练习）
13、如图，ABC中，A=70， BD、CE为角平分线，则BOC=_9（2021湖北荆门市八年级期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列结论：点到各边的距离相等；：；设，则；其中正确的结论是_10（2022北京市宣武外国语实验学校九年级期中）请阅读下面材料，并回答所提出的问题三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例已知：如图，ABC中，AD是角平分线求证：证明：过C作CEDA，交BA的延长线于E1E，23AD是角平分线，123EACAE又CEDA，(1)上述证明过程中，步骤处的理由是_(2)用三角形内角平分线定理解答：已知，A
14、BC中，AD是角平分线，AB7cm，AC4cm，BC6cm，则BD的长为_cm11（2022湖北中考模拟）如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD4，ABC的面积是_12（2022云南昆明八年级期末）（1）如图 1，在ABC 中，ABC 的平分线 BF 交 AC 于 F， 过点 F 作 DFBC， 求证：BD=DF（2）如图 2，在ABC 中，ABC 的平分线 BF 与ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DEBC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？并证明这种关系（3）如图 3，在AB
15、C 中，ABC 的平分线 BF 与ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DEBC，交直线 AB 于点D，交直线 AC 于点 E那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？请写出你的猜想（不需证明）13（2022江阴市学九年级月考）如图，ABC中，ABC，ACB的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB，AC于E，F（1）如图，当AB=AC时图中有 个等腰三角形（2）如图，写出EF与BE、CF之间关系式，并说明理由（3）如图，若ABC中ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于FEF与BE、CF关系又如何?说明你的理由14（2022江西九年级期中）如图，在中，已知：是它的角平分线，且（1）求的面积；（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确?若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由
