1、专题07 三角形的综合知识回顾1. 角平分线的性质：平分角。角平分线上任意一点到角两边的距离相等。2. 角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。3. 角平分线的尺规作图：具体步骤：以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图。分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图。连接OP，OP即为角的平分线。4. 垂直平分线的性质： 垂直且平分线段。 垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。5. 垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。6. 垂直平分线的吃规作图：具体步骤：以线段
2、两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图7. 中位线的性质： 三角形的中位线平行且等于第三边的一半。8. 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两腰相等。等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”）等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。（简称底边上三线合一）9. 等腰三角形的判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。有两个底角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。10. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个
3、角都等于60。等边三角形三条边都存在“三线合一”等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。等腰三角形的面积等于（为等腰三角形的边长）。11. 等腰三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等（两个角是60）的三角形是等腰三角形。底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。12. 直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。含30的直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。直角三角形的勾股定理。13. 勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于
4、斜边的平方。若直角三角形的两直角边是，斜边是，则。14. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是，且满足，则三角形是直角三角形，且C是直角。15. 特殊三角形三边的比：含30的直角三角形三边的比例为（从小打大）：。45的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：。16. 两点间的距离公式： 若点与点，则线段AB的长度为：。专题练习1如图，在RtACB中，ACB90，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EFAC于点F，连接CM，CE已知A50，ACE30（1）求证：CECM（2）若AB4，求线段FC的长2如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2
5、），得到大小两个正方形（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长（2）当a3时，该小正方形的面积是多少？3如图，在ABC中，ACB90，BC4，点D在AC上，CD3，连接DB，ADDB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设APx，PDQ与ABD重叠部分的面积为S（1）求AC的长；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围4在ABC中，ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DEDF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；（2
6、）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DEDF，EA的延长线交CF于点M（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；连接DM，求EMD的度数；若DM6，ED12，求EM的长5【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图，在ABC和ABC中，AD，AD分别是BC和BC边上的高线，且ADAD、则ABC和ABC是等高三角形【性质探究】如图，用SABC，SABC分别表示ABC和ABC的面积，则SABCBCAD，SABCBCAD，ADADSABC：SABCBC：BC【性质应用】（1）如图，D是ABC的边BC上的一点若BD3，DC4，则SABD：SA
7、DC ；（2）如图，在ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点若BE：AB1：2，CD：BC1：3，SABC1，则SBEC ，SCDE ；（3）如图，在ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点若BE：AB1：m，CD：BC1：n，SABCa，则SCDE 6在四边形ABCD中，O是边BC上的一点若OABOCD，则点O叫做该四边形的“等形点”（1）正方形 “等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”已知CD4，OA5，BC12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EHFG若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求
8、的值7两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形（1）问题发现：如图1，若ABC和ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边求证：BDCE；（2）解决问题：如图2，若ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同一条直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由8在ABC中，ACBC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DECD，过点E作EFAB，交直线AB于点F（1）如图1，若ACB120，请用
9、等式表示AC与EF的数量关系： （2）如图2若ACB90，完成以下问题：当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；当点D，点F位于点A的同侧时，若DF1，AD3，请直接写出AC的长9已知ABCDEC，ABAC，ABBC（1）如图1，CB平分ACD，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图2，将（1）中的CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示ACE与EFC之间的数量关系，并证明；（3）如图3，将（1）中的CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于ABC），若BADBCD，求ADB的度数10问题提出（1）如图1，AD是
10、等边ABC的中线，点P在AD的延长线上，且APAC，则APC的度数为 问题探究（2）如图2，在ABC中，CACB6，C120过点A作APBC，且APBC，过点P作直线lBC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积问题解决（3）如图3，现有一块ABC型板材，ACB为钝角，BAC45工人师傅想用这块板材裁出一个ABP型部件，并要求BAP15，APAC工人师傅在这块板材上的作法如下：以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得ABP请问，若按上述作法，裁得的ABP型部件
11、是否符合要求？请证明你的结论11如图，在ABC中，ABC40，ACB90，AE平分BAC交BC于点EP是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将APC沿AP翻折得APD，连结DC，记BCD（1）如图，当P与E重合时，求的度数（2）当P与E不重合时，记BAD，探究与的数量关系12综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在ABC中，D是AB上一点，ADCACB求证ACDABC独立思考：（1）请解答王老师提出的问题实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答“如图2，延长CA至点E，使CEBD，BE与CD的延长线相交于点F，点
12、G，H分别在BF、BC上，BGCD，BGHBCF在图中找出与BH相等的线段，并证明”问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当BAC90时，若给出ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求该小组提出下面的问题，请你解答“如图3，在（2）的条件下，若BAC90，AB4，AC2，求BH的长”13如图1，在ABC中，ACBC，ACB90，AB4cm点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动过点D作AB的垂线，与ABC的直角边AC（或BC）相交于点E设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻
13、AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：变量a（cm）00.511.522.533.54变量h（cm）00.511.521.510.50在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图21；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图22根据探究的结果，解答下列问题：当a1.5时，h ；当h1时，a 将图21，图22中描出的点顺次连接起来下列说法正确的是 （填“A”或“B”）A变量h是以a为自变量的函数B变量a是以h为自变量的函数（2）如图3，记线段DE与ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s分别求出当0a2和2a4时，s关于a的函
14、数表达式；当s时，求a的值14已知CD是ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，ADm，BDn，ADE与BDF的面积之和为S（1）填空：当ACB90，DEAC，DFBC时，如图1，若B45，m5，则n ，S ；如图2，若B60，m4，则n ，S ；（2）如图3，当ACBEDF90时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；（3）如图4，当ACB60，EDF120，m6，n4时，请直接写出S的大小15回顾：用数学的思维思考（1）如图1，在ABC中，ABACBD，CE是ABC的角平分线求证：BDCE点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE求证：BDCE（从两题中选择一题加以证明）猜想
15、：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在ABC中，ABAC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BDCE进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：（2）如图2，在ABC中，ABAC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BDCE，并证明探究：用数学的语言表达（3）如图3，在ABC中，ABAC2，A36，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点判断BF与CE能否相等若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由
