1、专题07 对数与对数函数（考点清单）（考点清单）目录一、思维导图3二、知识回归3三、典型例题讲与练5考点清单01：对数5【期末热考题型1】对数运算5考点清单02：指数式与对数式的相互转化6【期末热考题型1】指数式与对数式的相互转化6考点清单03：换底公式7【期末热考题型1】利用换底公式化简求值7考点清单04：有附加条件的对数求值问题8【期末热考题型1】有附加条件的对数求值问题8考点清单05：对数函数的概念9【期末热考题型1】对数函数的概念9【期末热考题型2】与对数函数有关的定义域问题10考点清单06：对数函数的图象11【期末热考题型1】对数函数过定点问题11【期末热考题型2】对数函数的图象12
2、考点清单07：对数函数的值域15【期末热考题型1】对数型复合函数值域15【期末热考题型2】对数型复合函数值域（可化为一元二次函数型）16考点清单08：对数函数的单调性17【期末热考题型1】对数型复合函数的单调性问题17【期末热考题型2】根据对数型复合函数的单调性求参数18【期末热考题型3】利用对数函数单调性比大小20【期末热考题型4】利用对数函数单调性解不等式21考点清单09：对数函数的综合问题25【期末热考题型1】对数函数综合问题25一、思维导图二、知识回归知识点01：对数概念1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.特别的：规定,且的
3、原因：当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.2、常用对数与自然对数常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作说明：“”同+、-、等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.知识点02：指数式与对数式的相互转化当且，知识点03：对数的性质负数和零没有对数.对于任意的且,都有，
4、；对数恒等式: （且）知识点04：对数的运算性质当且，,（）（）（）知识点05：对数的换底公式换底公式：（且，且）特别的：知识点06：对数函数的概念1、对数函数的概念一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.判断一个函数是对数函数的依据（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.2、两种特殊的对数函数特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.知识点07：对数函数的图象及其性质函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域值域单调性增函数减函数三、
5、典型例题讲与练01：对数【期末热考题型1】对数运算【解题方法】运算公式【典例1】（2023上江苏南京高一南京师大附中校考期中）计算：(1)：(2)【答案】(1)4(2)3【详解】（1）原式；（2）原式【典例2】（2023上江苏连云港高一连云港高中校考期中）计算：(1)，(2).【答案】(1)11(2)2【详解】（1）原式.（2）原式 .【专训1-1】（2023上河南南阳高一社旗县第一高级中学校联考期中）计算：(1)；(2)【答案】(1)100(2)12【详解】（1）原式；（2）原式02：指数式与对数式的相互转化【期末热考题型1】指数式与对数式的相互转化【解题方法】指数式与对数式相互转化公式【典
6、例1】（2023上江苏南京高一校联考期中）若，则的值为（）ABCD【答案】A【详解】由题意得：，得：，所以：.故A项正确.故选：A.【典例2】（2023上重庆高一重庆十八中校考期中）已知，则 【答案】/【详解】由，得，而，所以.故答案为：03：换底公式【期末热考题型1】利用换底公式化简求值【解题方法】换底公式【典例1】（2023上上海徐汇高一上海中学校考期中）已知，则可用a，b表示为 【答案】【详解】因为，所以.故答案为：.【典例2】（2023上四川绵阳高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）计算：= .【答案】【详解】，故答案为：【专训1-1】（2023全国高一随堂练习）分别计算下列各式，你能
7、得出什么结论？(1)；(2)；【答案】(1)4(2)【详解】（1）；（2）；04：有附加条件的对数求值问题【期末热考题型1】有附加条件的对数求值问题【解题方法】【典例1】（2023上吉林长春高一长春市第二中学校考期中）设，且，则（）AB10C100D1000【答案】C【详解】根据题意由可得，所以，即可得，即.故选：C【典例2】（2023上山东德州高三德州市第一中学校考阶段练习）已知，则 【答案】【详解】由得：，.故答案为：【专训1-1】（2023上辽宁高三大连二十四中校联考开学考试）设，若，则（）AB6CD【答案】C【详解】由，知，且，所以，故选：C【专训1-2】（2023上高一课时练习）已知
8、，用，表示【答案】【详解】解析：因为，所以，即05：对数函数的概念【期末热考题型1】对数函数的概念【解题方法】对数函数定义【典例1】（2023上高一课时练习）若函数是对数函数，则a的值是（）A1或2B1C2D且【答案】C【详解】函数是对数函数，且，解得或，故选：C【典例2】（多选）（2023上高一课时练习）函数中，实数的取值可能是（）AB3C4D5【答案】AC【详解】因为，所以根据对数函数的定义得：，即：，所以或，故选：AC.【专训1-1】（2023上高一课时练习）已知函数是对数函数，则 【答案】1【详解】因为函数是对数函数，则，解得故答案为：1.【期末热考题型2】与对数函数有关的定义域问题【
9、解题方法】对数函数的定义【典例1】（2023上黑龙江哈尔滨高三哈尔滨三中校考期中）函数的定义域为 【答案】【详解】由题知，解得所以函数的定义域为.故答案为：.【典例2】（2023下高一课时练习）若函数定义域为R，求实数a的取值范围.【答案】【详解】由题意可得，要使的定义域为R，则对任意的实数x都有恒成立，故有，解得，即实数a的取值范围为.【专训1-1】（2023上陕西西安高三校考阶段练习）已知的定义域为，则函数的定义域为 【答案】【详解】因为的定义域为，要使函数有意义，则，即，解得，所以定义域为.故答案为：06：对数函数的图象【期末热考题型1】对数函数过定点问题【解题方法】【典例1】（2023
10、上河南郑州高三校考阶段练习）已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（）A2B3C4D5【答案】C【详解】因为，所以函数图象过的定点为，将其代入直线方程得，即，又，所以，当且仅当即时，等号成立，故有最小值4.故选：C.【典例2】（2023上辽宁大连高三大连市第一中学校联考期中）函数（且）的图象恒过定点，若且，则的最小值为（）A9B8CD【答案】B【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以， ,当且仅当，即等号成立故选：B.【专训1-1】（2023下上海高一上海市敬业中学校考期中）已知函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值是 【答案】9【详解】函数中，当，
11、即时，恒有，因此点，而点A在一次函数的图象上，则，又，于是，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值9.故答案为：9【期末热考题型2】对数函数的图象【解题方法】对数函数的图象【典例1】（2024上陕西安康高三校联考阶段练习）函数的大致图象是（）ABCD【答案】D【详解】方法一：因为，即，所以，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；当时，即，因此，故排除A.故选:D.方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；又，所以排除A.故选：D.【典例2】（2023上安徽蚌埠高一统考期末）已知函数，的零点分别是，则，的大小顺序为（）ABCD
12、【答案】A【详解】令，得，则为函数与交点横坐标，为函数与交点横坐标，为函数与交点横坐标，在同一直角坐标系中，分别做出，和的图像，如图所示，由图可知，故选：A【专训1-1】（2023山东济南高一开学考试）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（）ABCD【答案】A【详解】依题意可将指数函数化为，由可知；由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BC，由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除D，故选：A07：对数函数的值域【期末热考题型1】对数型复合函数值域【解题方法】换元法【典例1】（2023上四川广安高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知函数，则的值域是 .【答案】【
13、详解】,单调递增，则的值域是。故答案为：【典例2】（2023上江苏扬州高三扬州中学校考阶段练习）若函数的值域为R，则实数m的取值范围是 【答案】【详解】依题意，函数的值域为R，所以，解得.故答案为：【专训1-1】（2023上山东泰安高三宁阳县第四中学校考阶段练习）已知(1)若，求的值域；【答案】(1)【详解】（1）若，则，因为，当且仅当时，等号成立，可知的定义域为，且在定义域内单调递减，可得，所以的值域为.【期末热考题型2】对数型复合函数值域（可化为一元二次函数型）【解题方法】换元法【典例1】（2023上浙江杭州高一校联考期中）函数的值域为（）ABCD【答案】C【详解】，设，则，故函数的值域为
14、.故选：C【典例2】（2023上河南郑州高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数.(1)求函数的值域；【答案】(1)【详解】（1）因为定义域为，则设，则，所以值域为.【专训1-1】（2023上江苏常州高三校联考阶段练习）已知函数，则函数的值域为 【答案】【详解】由于，由，得，解得，即函数的定义域为,，又，故函数的值域为， 故答案为：08：对数函数的单调性【期末热考题型1】对数型复合函数的单调性问题【解题方法】复合函数求单调性法则【典例1】（2023上河北张家口高三校联考阶段练习）函数的单调递增的区间是（）ABCD【答案】C【详解】由题意得，解得，设，即求函数在中的减区间，即故选：C【典例2
15、】（2023全国高三专题练习）已知函数，若，则此函数的单调递增区间是 【答案】【详解】由题意，令，解得或，故函数的定义域为，得，令，则，根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间，由二次函数的性质，的增区间为，所以函数的单调递增区间为.故答案为：.【专训1-1】（2023上山西朔州高一统考期末）函数的减区间为（）ABCD【答案】A【详解】令，解得或，则的定义域为，令在上单调递减，又在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递减，故选：A.【专训1-2】（2023上高一课时练习）求函数的单调区间【答案】单调递增区间为，单调递减区间为.【详解】函数中，于是该函数的定义域为R，令，
16、则函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递减，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【期末热考题型2】根据对数型复合函数的单调性求参数【解题方法】复合函数求单调性法则【典例1】（2023上四川绵阳高三三台中学校考阶段练习）“”是“函数在上单调递增”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【答案】A【详解】因为函数在上单调递增，所以时恒成立且在上单调递增，所以，则是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A【典例2】（2023上上海松江高三校考阶段练习）若函数在区间上为严格减函数，则的取值范围是 .【答案】【详解】由复合函数单
17、调性可得，函数在区间上为严格减函数，且，则，解之得.故答案为：【专训1-1】（2023山东德州德州市第一中学校联考模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【详解】在单调递减上单调递减，根据复合函数的单调性可得在区间上单调递增，当时，在单调递增，需满足，当满足题意，当时，在单调递增，则在区间上单调递增又需满足真数，则最小值，即，综上故选：C【专训1-2】（2023上浙江高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（）ABCD【答案】D【详解】因为函数在区间上单调递增，为增函数，所以函数在区间上有意义，且在上单调递增，所以，则或，解得，所
18、以的取值范围为.故选：D【期末热考题型3】利用对数函数单调性比大小【解题方法】单调性【典例1】（2023全国高一专题练习）比较下列各题中两个值的大小：(1)； (2)；(3)； (4)与.【答案】(1) (2)；(3)答案见解析 (4)【详解】（1）函数在上是增函数.又.（2）函数在上是减函数.又.（3）当时，函数在上是增函数.当时，函数在上是减函数.（4），.【专训1-1】（2023全国高一随堂练习）比较下列各题中两个数的大小：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，（，）【答案】(1)；(2)；(3)；(4)当时，；当时，；【详解】（1）由对数函数性质可知，函数在上单调递增，又，所以可得；（
19、2）由对数函数性质可知，函数在上单调递减，又，所以可得；（3）由对数函数性质可知，函数在上单调递减，函数在上单调递增，又，所以可得，即可得；所以；（4）易知当时，对数函数在上单调递减，又，所以可得；当时，对数函数在上单调递增，又，所以可得；综上可得当时，；当时，【期末热考题型4】利用对数函数单调性解不等式【解题方法】单调性【典例1】（2023上河南高三开封高中校联考期中）已知函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【详解】解：由题可知函数的定义域为，是偶函数，由可得，即.当时，和在上都是单调递增的，在上单调递增，又因是偶函数，在上单调递减.又，由函数的定义域知有，由可得，解得：；由可得，解
20、得：.综上，不等式的解集为.故选：D.【典例2】（2023上高一课时练习）不等式的解集是 .【答案】【详解】易知，由可得；又函数在为单调递减，所以可得，解得.故答案为：【典例3】（2023上河北张家口高三校联考阶段练习）函数是定义在上的偶函数，当时，(1)函数的解析式；(2)解不等式【答案】(1)(2)或【详解】（1）当时，则，所以当时，所以的解析式为.（2）因为函数是定义在R上的偶函数，所以，因为所以可将等价于，因为时，此函数在上是单调递增，所以，或，即或，解得或，综上所述，不等式的解集为或.【专训1-1】（2023上陕西渭南高三校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不
21、等式的解集为 .【答案】或.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，所以在上递增，因为是定义在上的偶函数，所以由，得，所以，所以或，所以或，解得或，所以不等式的解集为或.故答案为：或.【专训1-2】（2023江苏高一专题练习）已知函数(1)求函数的定义域，并证明是定义域上的奇函数；(2)用定义证明在定义域上是增函数；(3)求不等式的解集【答案】(1)定义域为，证明见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）由得，所以函数的定义域为又因为，所以是定义域上的奇函数（2）证明：设任意，则，因为，所以，于是，则，所以所以，即，故函数是上的增函数（3）因为在上是增函数且为奇函数，所以不等式可转
22、化为，则，解得，所以不等式的解集为.09：对数函数的综合问题【期末热考题型1】对数函数综合问题【解题方法】对数函数的图象与性质【典例1】（2023上江苏无锡高三统考期中）设函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)当时，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，不等式即，所以，解得或，所以不等式的解集为.（2）由复合函数的单调性知在上单调递减，则在上恒成立，所以在上恒成立，所以，而，令，因为，所以，所以，由对勾函数单调性知在上单调递增，所以，所以.【典例2】（2023上全国高三校联考阶段练习）已知函数是偶函数.(1)求的值;(2)
23、设 ，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为是偶函数，所以，即，所以，即.（2），因为对任意的 ，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因为在上单调递增，所以，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，解得，所以的取值范围为.【专训1-1】（2023上山东青岛高一山东省青岛第十七中学校考期中）已知函数（且）的图象过点.(1)求的值及的定义域；(2)判断的奇偶性，并说明理由.【答案】(1),(2)奇函数【详解】（1）已知函数（且）的图象过点，即.又，即,解得.的定义域为.（2）为奇函数，理由如下：由（1）知：，的定义域为，定义域关于原点对称，又，即，为奇函数.【专训1-2】（2023上天津滨海新高一天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）已知函数(1)当时，解关于x的方程(2)若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式；(3)在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）当时，即，整理得，即，得或（舍去）；（2）因为函数是定义在R上的奇函数，则且，解得，即，证明：，故是定义在R上的奇函数，（3）在(2)的前提下，整理得，代入得，即恒成立，又，当且仅当，即时等号成立，即实数的最大值为.
