1、高考资源网() 您身边的高考专家课时跟踪检测(十) 双曲线及其标准方程一、基本能力达标1已知F1(8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|PF2|10,则P点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C直线D一条射线解析:选DF1,F2是定点,且|F1F2|10,所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线2椭圆1与双曲线1有相同的焦点,则a的值是()A.B1或2C1或D1解析:选D依题意知解得a1.3焦点分别为(2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()Ax21By21Cy21D.1解析:选A由双曲线定义知,2a532,a1.又c2,b2c2a2413,因此所
2、求双曲线的标准方程为x21.4“0k3”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:选A0k3,方程1表示双曲线;反之,方程1表示双曲线,(k1)(k5)0,解得1k5.故“0k0,且m952,解得m16.答案:167设点P在双曲线1上,F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|PF2|13,则F1PF2的周长等于_解析:由题意知|F1F2|210,|PF2|PF1|6,又|PF1|PF2|13,|PF1|3,|PF2|9,F1PF2的周长为391022.答案:228已知定点A,B且|AB|4,动点P满足|PA|PB|3,则|PA|的最小值
3、为_解析:如图所示,点P是以A,B为焦点的双曲线的右支上的点,当P在M处时,|PA|最小,最小值为ac2.答案:9求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a2,经过点A(2,5),焦点在y轴上;(2)与椭圆1有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4.解:(1)因为双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为1(a0,b0)由题设知,a2,且点A(2,5)在双曲线上,所以解得故所求双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0,3),F2(0,3),双曲线与椭圆的一个交点为(,4)(或(,4)设双曲线的标准方程为1(a0,b0),则解得故所求双曲线的标准方程为1.10已知双曲线过点(
4、3,2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程;(2)若点M在双曲线上,F1,F2是双曲线的左、右焦点,且|MF1|MF2|6,试判断MF1F2的形状解:(1)椭圆的方程可化为1,焦点在x轴上,且c.故可设双曲线方程为1(a0,b0)依题意得解得a23,b22.故双曲线的标准方程为1.(2)不妨设M在双曲线的右支上,则有|MF1|MF2|2.又|MF1|MF2|6,解得|MF1|4,|MF2|2.又|F1F2|2c2,因此在MF1F2中,|MF1|边最长,由余弦定理可得cosMF2F10.所以MF2F1为钝角,故MF1F2是钝角三角形二、综合能力提升1已知F1(5,0),
5、F2(5,0),动点P满足|PF1|PF2|2a,当a分别为3和5时,点P的轨迹分别为()A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线解析:选C依题意,得|F1F2|10.当a3时,|PF1|PF2|2a6|F1F2|,可知点P的轨迹为双曲线的右支;当a5时,|PF1|PF2|2a10|F1F2|,可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线故选C.2已知双曲线过点P1和P2,则双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1D.1解析:选B因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线的方程为mx2ny21(mn0),则1,所以y,即|AF1|.又|AF2|AF1|2a2
6、4,所以|AF2|24.即所求距离分别为,.答案:,7已知ABC的两个顶点A,B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点,且三个内角A,B,C满足关系式sin Bsin Asin C.(1)求线段AB的长度;(2)求顶点C的轨迹方程解:(1)将椭圆方程化为标准形式为y21.a25,b21,c2a2b24,则A(2,0),B(2,0),|AB|4.(2)sin Bsin Asin C,由正弦定理得|CA|CB|AB|21)8设圆C与两圆(x)2y24,(x)2y24中的一个内切,另一个外切(1)求C的圆心轨迹L的方程;(2)已知点M,F(,0),且P为L上动点求|MP|FP|的最大值解:(1)两圆的圆心分别为A(,0),B(,0),半径为2,设圆C的半径为r.由题意得|CA|r2,|CB|r2或|CA|r2,|CB|r2,两式相减得|CA|CB|4或|CA|CB|4,即|CA|CB|4.则圆C的圆心轨迹为双曲线,其中2a4,c,b21,圆C的圆心轨迹L的方程为y21.(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点,如图,连接MF并延长交双曲线于一点P,此时|PM|PF|MF|为|PM|FP|的最大值又|MF|2,|MP|FP|的最大值为2.高考资源网版权所有,侵权必究!