1、专题06二次函数的图象与性质（1）（5个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1.二次函数与的图象及性质知识点2.二次函数的图象及性质（重点）知识点3.二次函数的图象及性质（重点）知识点4.二次函数的图象与性质（重点）知识点5.二次函数的图象与性质（重点）【方法二】 实例探索法题型1.判断二次函数图象的开口大小题型2.二次函数与一次函数的综合题型3.画二次函数的图象题型4.二次函数与几何图形的综合【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数的作用【方法四】 成果评定法【学习目标】1. 掌握二次函数图象的画法及性质，并了解三个函数之间的关系。2.
2、掌握二次函数图象的画法及性质，并了解图象之间 的关系。3. 能灵活运用二次函数与图象之间的关系解决问题。4. 重点：二次函数图象的画法及性质5. 难点：二次函数性质的应用 【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数与的图象及性质二次函数yx2的图象与性质抛物线yx2yx2顶点坐标(0，0)(0，0)对称轴y轴y轴开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小最值当x0时，有最小值0当x0时，有最大值0【例1】已知二次函数yx2的图象与直线yx2的图象如图所
3、示.(1)判断yx2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)设直线yx2与抛物线yx2的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；(3)连接OA，OB，求AOB的面积.【变式】已知二次函数yx2，当1x2时，求函数y的最小值和最大值.小王的解答过程如下：解：当x1时，y1；当x2时，y4；所以函数y的最小值为1，最大值为4.小王的解答过程正确吗?如果不正确，写出正确的解答过程.【例2】观察二次函数yx2的图象，请问：(1)什么时候y随x的增大而增大?什么时候y随x的增大而减小?(2)什么时候函数有最大值或最小值?其最大值或最小值是多少?【变式】函数yax2(a0)与
4、直线yx2交于点(1，b).(1)求a，b的值.(2)x取何值时，y随x的增大而增大?知识点2.二次函数的图象及性质（重点）二次函数y=ax2（a0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a0 向上 （0，0） y轴 x0时，y随x增大而增大； x0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 y=ax2 a0时，y随x增大而减小； x0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. a相同，抛物
5、线的开口大小、形状相同.a越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，a越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.【例3】（2023秋普陀区期末）下列关于抛物线y2x2和抛物线y2x2的说法中，不正确的是（）A对称轴都是y轴B在y轴左侧的部分都是上升的C开口方向相反D顶点都是原点【变式】（2023秋琼山区校级期中）已知抛物线y（3m1）x2的开口向下，则m的取值范围是（）ABCD知识点3.二次函数的图象及性质（重点）关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c
6、)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，【例4】（2023秋日喀则市期末）在同一坐标系中，一次函数ymx+n2与二次函数yx2+m的图象可能是（）ABCD知识点4.二次函数的图象与性质（重点）一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最
7、高点【例5】（2023秋西昌市校级期末）yax+b与ya（x+b）2在同一坐标系中的图象可能是（）A BC D知识点5.二次函数的图象与性质（重点）二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点【例6】（2022秋环江
8、县期末）二次函数y2（x+2）21的图象是（）ABCD【变式1】（2023长兴县一模）抛物线y2（x+9）23的顶点坐标是（）A（ 9，3）B（9，3）C（9，3）D（9，3）【变式2】（2023秋西山区校级月考）在直角坐标系中，将抛物线y2x2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为（）Ay2（x+1）22By2（x1）2+2Cy2（x+2）21Dy2（x2）2+1【方法二】实例探索法题型1.判断二次函数图象的开口大小1.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；（2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？2.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；
9、（2）函数、的图像与函数、的图像有何异同？题型2.二次函数与一次函数的综合3.已知直线上有两个点A、B，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线也经过点A，试求该抛物线的表达式该抛物线也经过点B吗？请说出你的理由4.物线与直线交于点（1，b）（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大题型3.画二次函数的图象5.（2022秋河南濮阳九年级校考阶段练习）已知二次函数，解答下列问题：(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由(3)求当时对应的函数图象在第一象
10、限的点的坐标题型4.二次函数与几何图形的综合6.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m求灯与点B的距离 【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数的作用7.抛物线与的形状相同，则a的值为_【方法四】 成果评定法一选择题（共9小题）1（2023秋长春期末）若点在二次函数图象的对称轴上，则点的坐标可能是ABCD2（2023秋新宾县期末）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是A先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B先向
11、左平移1个单位，再向下平移2个单位C先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D先向左平移1个单位，再向上平移2个单位3（2023秋西城区校级月考）已知点，在抛物线上，则，的大小关系是ABCD4（2023秋绿园区期末）二次函数的顶点坐标是ABCD5（2022秋上虞区期末）已知二次函数，当时，函数值等于8，则下列关于，的关系式中，正确的是ABCD6（2022秋东阿县期末）已知，点，都在二次函数的图象上，则ABCD7（2022秋柯城区期末）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为ABCD8（2023秋明光市期中）抛物线的顶点坐标为ABCD9（2022秋抚松县期末）已知
12、二次函数，当时，的最小值为，则的值为A0或1B0或4C1或4D0或1或4二填空题（共8小题）10（2023秋日喀则市期末）抛物线的顶点坐标为 11（2023秋西城区校级月考）将二次函数y2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是 12（2023秋普陀区期末）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点的坐标是 13（2023秋普陀区期末）已知点在抛物线上，点与点关于此抛物线的对称轴对称，如果点的横坐标是，那么点的坐标是 14（2023秋徐汇区期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是，新抛物线与原抛物线交于点（如图所示），联结、，如果是等边三角形，那么
13、点的坐标是 15（2023秋宣化区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、的坐标分别为、若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是 16（2022秋松北区校级期末）二次函数的最大值是 17（2022秋凤山县期末）如图，把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 三解答题（共5小题）18（2022秋东阿县期末）如图，四点在抛物线上，且轴，与轴的交点分别为，已知，求的值及的长19（2023秋琼山区校级期中）已知如图所示，直线经过点和，它与抛物线在第一象限内交于点，且的面积为4（1）求直线的表达式；（2）求的值20（2023秋安庆期中）平移抛物线，使顶点坐标为，并且经过点，求平移后抛物线对应的函数表达式21（2022秋运城期末）探究二次函数及其图象的性质，请填空：图象的开口方向是 ；图象的对称轴为直线 ；图象与轴的交点坐标为 ；当时，函数有最小值，最小值为 22（2022秋霍邱县期末）已知抛物线，经过点和（1）求、的值；（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式
