1、2016-2017学年河南省驻马店市名校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）1已知命题p；x1，命题q：（xa）（xa1）0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A0，B，1C，D2若f（x）=f（1）x2+ex，则f（1）=（）AeB0Ce+1De13若A（6，1，4），B（1，2，1），C（4，2，3），则ABC的形状是（）A不等边锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形4已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A8x6y7=0B3x+4y=0C3x+4y12=0D6x+8y25=05在ABC中，S为ABC的面
2、积，且，则tanB+tanC2tanBtanC=（）A1B1C2D26已知数列an为等比数列，Sn为其前n项和，且，则t=（）ABCD7在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=1，AA1=2，D为BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为（）ABCD8不等式的解集为（，1）（3，+），则不等式x2+bx2a0的解集为（）A（2，5）B（0.5，0.2）C（2，1）D（0.5，1）9若0x1，则的最小值为（）AB1+C2+D3+10已知抛物线C：y2=2px（p0），过其焦点F的直线l交抛物线C于点A、B，|AF|=3|BF|，则|AB|=（）ApBC2pD11从一楼到二楼共有十级
3、台阶，小明从一楼上到二楼，每次可以一部跨一级台阶，也可以跨两级台阶，则小明从一楼上到二楼的方法共有（）种A87B88C89D9012已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A16，124B17，134C19，124D20，134二.填空题（每小题5分，共20分）13过函数f（x）=x33x2+2x+5图象上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是14已知实数x，y满足不等式组，则z=|x|+y的取值范围为15若点P是方程所表示的曲线上的点，同时P又是直线y=4上的点，则点P的横坐标为16已知：；，利用上述结果，计算：13+23+33+
4、n3=三.解答题：17已知p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，q：双曲线=1的离心率e（，）（1）若椭圆+=1的焦点和双曲线=1的顶点重合，求实数m的值；（2）若“pq”是真命题，求实数m的取值范围18在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，且A、B、C成等差数列（1）若，求ABC的面积（2）若sinA、sinB、sinC成等比数列，试判断ABC的形状19本学期，学校食堂为了更好地服务广大师生员工，对师生员工的主食购买情况做了一个调查（主食只供应米饭和面条，且就餐人数保持稳定），经调查统计发现凡是购买米饭的人下一次会有20%的人改买面条，而购买面条的人下一次会有30%的人改买米饭若
5、用an，bn分别表示第n次购买米饭、面条的人员比例，假设第一次购买时比例恰好相等，即（1）求an+bn的值（2）写出数列an的递推关系式（3）求出数列an和bn的通项公式，并指出随着时间推移（假定就餐人数为2000）食堂的主食应该准备米饭和面条各大约多少份，才能使广大师生员工满意20已知aR，f（x）=aln（x1）+x，f（2）=2（1）求a的值，并求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程y=g（x）；（2）设h（x）=mf（x）+g（x）+1，若对任意的x2，4，h（x）0，求实数m的取值范围21已知正三棱柱ABCA1B1C1的各个棱长都相等，E为BC的中点，动点F在CC1上，且不
6、与点C重合（1）当CC1=4CF时，求证：EFA1C（2）设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值22已知椭圆C：，F1，F2分别为左右焦点，在椭圆C上满足条件的点A有且只有两个（1）求椭圆C的方程（2）若过点F2的两条相互垂直的直线l1与l2，直线l1与曲线y2=4x交于两点M、N，直线l2与椭圆C交于两点P、Q，求四边形PMQN面积的取值范围2016-2017学年河南省驻马店市名校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）1已知命题p；x1，命题q：（xa）（xa1）0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A
7、0，B，1C，D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】命题q：（xa）（xa1）0，解得axa+1由于p是q的必要不充分条件，可得q是p的必要不充分条件即可得出【解答】解：命题q：（xa）（xa1）0，解得axa+1p是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件，且等号不能同时成立解得则实数a的取值范围是故选：A2若f（x）=f（1）x2+ex，则f（1）=（）AeB0Ce+1De1【考点】导数的运算【分析】由f（x）=f（1）x2+ex，求导得：f（x）=2f（1）x+ex，令x=1，解得f（1）=ef（x）=ex2+ex，可得f（1）【解答】解：由f（x）=f（1）x2+ex，
8、求导得：f（x）=2f（1）x+ex，令x=1可得，f（1）=2f（1）+e，解得f（1）=ef（x）=ex2+ex，f（1）=e+e=0故选：B3若A（6，1，4），B（1，2，1），C（4，2，3），则ABC的形状是（）A不等边锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形【考点】空间中的点的坐标【分析】利用向量坐标运算性质、数量积运算性质、模的计算公式即可得出【解答】解： =（5，1，3），=（2，3，1），=（3，4，2），=103+3=100，可得A为锐角，同理可得B，C也为锐角=，同理可得=， =ABC为不等边锐角三角形故选：A4已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A8x
9、6y7=0B3x+4y=0C3x+4y12=0D6x+8y25=0【考点】椭圆的简单性质【分析】设出弦的两个端点的坐标，代入椭圆方程，作差整理可得弦所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式得答案【解答】解：设弦的两个端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，得：，即，以点为中点的弦所在的直线方程为y，整理得：3x+4y12=0故选：C5在ABC中，S为ABC的面积，且，则tanB+tanC2tanBtanC=（）A1B1C2D2【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数【分析】由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简可求tanA=2，进而利用三角形内角和定理，
10、两角和的正切函数公式化简整理即可得解【解答】解：，bcsinA=2bccosA，解得：tanA=2，tanA=tan（B+C）=2，整理可得：tanB+tanC2tanBtanC=2，故选：D6已知数列an为等比数列，Sn为其前n项和，且，则t=（）ABCD【考点】等比数列的通项公式【分析】先分别求出a1，a2，a3，由等比数列an中，能求出t的值【解答】解：数列an为等比数列，Sn为其前n项和，且，a1=S1=201720162018t，a2=S2S1=201720162015，a3=S3S2=2017201622015，等比数列an中，2=，解得t=故选：C7在正三棱柱ABCA1B1C1中
11、，已知AB=1，AA1=2，D为BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为（）ABCD【考点】直线与平面所成的角【分析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面AA1C1C所成角的余弦值【解答】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，AA1=2，D为BB1的中点，A（0，0，0），D（，1），=（），平面AA1C1C的法向量=（1，0，0），AD与平面AA1C1C所成角为，则sin=，cos=AD与平面
12、AA1C1C所成角的余弦值为故选：D8不等式的解集为（，1）（3，+），则不等式x2+bx2a0的解集为（）A（2，5）B（0.5，0.2）C（2，1）D（0.5，1）【考点】二次函数的性质【分析】由已知中不等式的解集为（，1）（3，+），可得a10，b， =1，3，即a=5，b=3，则不等式x2+bx2a0可化为：x23x100，解得答案【解答】解：若不等式的解集为（，1）（3，+），即不等式的解集为（，1）（3，+），则a10，b， =1，3，即a=5，b=3，故不等式x2+bx2a0可化为：x23x100，解得：x（2，5），故选：A9若0x1，则的最小值为（）AB1+C2+D3+【考点
13、】基本不等式【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可【解答】解：0x1，10，=1+12+1=1+2，当且仅当1=即x=1时“=”成立，故选：B10已知抛物线C：y2=2px（p0），过其焦点F的直线l交抛物线C于点A、B，|AF|=3|BF|，则|AB|=（）ApBC2pD【考点】抛物线的简单性质【分析】设抛物线y2=2px（p0）的准线为l：x=如图所示，当直线AB的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AMl，BNl，垂足为M，N过点B作BCAM交于点C则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|由于|AF|=3|BF|=|AB|，可得|AM|BN|=|AC|=|AF|BF|=|AB|，
14、在RtABC中，由|AC|=|AB|，可得BAC=60由于AMx轴，可得BAC=AFx=60即可得到kAB=tan60=，当直线AB的倾斜角为钝角时，同理可得【解答】解：设抛物线y2=2px（p0）的准线为l：x=如图所示，当直线AB的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AMl，BNl，垂足为M，N过点B作BCAM交于点C则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|AF|=3|BF|=|AB|，|AM|BN|=|AC|=|AF|BF|=|AB|，在RtABC中，由|AC|=|AB|，可得BAC=60AMx轴，BAC=AFx=60kAB=tan60=，直线方程为y=（x），代入抛物线方程，可得3x25p
15、x+p2=0，|AB|=p，当直线AB的倾斜角为钝角时，可得kAB=|AB|=p综上可知：|AB|=p，故选：D11从一楼到二楼共有十级台阶，小明从一楼上到二楼，每次可以一部跨一级台阶，也可以跨两级台阶，则小明从一楼上到二楼的方法共有（）种A87B88C89D90【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，由小明“跨两级台阶”的次数分6种情况讨论，每种情况下分析需要跨台阶的次数，利用组合数公式计算可得每种情况下的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，从一楼到二楼共有十级台阶，小明“跨两级台阶”的次数有6种情况，则分6种情况讨论：、每次都是跨一级台阶，则有1种情况，、有1次
16、跨两级台阶，即有8次跨一级台阶，有C91=9种情况，、有2次跨两级台阶，即有6次跨一级台阶，有C82=28种情况，、有3次跨两级台阶，即有4次跨一级台阶，有C73=35种情况，、有4次跨两级台阶，即有2次跨一级台阶，有C64=15种情况，、全部都是跨两级台阶，有1种情况，则共有1+9+28+35+15+1=89种；故选：C12已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A16，124B17，134C19，124D20，134【考点】椭圆的简单性质【分析】根据题意，得|NE|=|NF|=1且，由此化简得=1，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当
17、P的纵坐标为3时，取得最大值20，由此即得=1的最大值，当P的纵坐标为时，取得最小值，由此即得=1的最小值【解答】解：EF为圆N的直径，|NE|=|NF|=1，且，则=（+）（+）=（+）（ ）=1，设P（x0，y0），则有即x02=16y02又N（0，1），=，而y02，2，当y0=3时，取得最大值20，则=1=201=19，当y0=时，取得最小值，则=1=1=最大值和最小值是：19，故选：C二.填空题（每小题5分，共20分）13过函数f（x）=x33x2+2x+5图象上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是0，），）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导函数，由导
18、函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求【解答】解：由y=f（x）=x33x2+2x+5，得y=3x26x+2，设函数f（x）=x33x2+2x+5图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为（0），则y=3x026x0+2=3（x1）211，tan1，0或函数f（x）=x33x2+2x+5图象上任一点的切线的倾角的取值范围是0，），）故答案为：0，），）14已知实数x，y满足不等式组，则z=|x|+y的取值范围为1，【考点】简单线性规划【分析】先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围【解答】解：画出满足条件的平面区域，如
19、图示：，z=|x|+y=，当M（x，y）位于D中y轴的右侧包括y轴时，平移直线：x+y=0，可得x+y1，2，当M（x，y）位于D中y轴左侧，平移直线x+y=0，可得z=x+y（1，所以z=|x|+y的取值范围为：1，故答案为：1，15若点P是方程所表示的曲线上的点，同时P又是直线y=4上的点，则点P的横坐标为【考点】曲线与方程【分析】根据两点间的距离公式与双曲线的定义，可得点P的轨迹是以F1（5，0）、F2（5，0）为焦点的双曲线的左支由题中数据求出双曲线的方程，再将y=4代入解出x的值，即可得出点P的横坐标【解答】解：设点P（x，y），F1（5，0），F2（5，0），可得点P满足|PF2|
20、PF1|=6，可得点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线的左支又c=5，2a=6，得a=3，b2=c2a2=259=16，因此该双曲线的方程为=1（x0），若点P的纵坐标是4，则将y=4代入双曲线方程解得x=3（正值舍去）点P的横坐标为故答案为：16已知：；，利用上述结果，计算：13+23+33+n3=【考点】归纳推理【分析】利用n4（n1）4=4（n1）3+6（n1）2+4（n1）+1，再叠加，结合条件，可得结论【解答】解：（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1，（n+1）4n4=4n3+6n2+4n+1，n4（n1）4=4（n1）3+6（n1）2+4（n1）+1，3424=423+6
21、22+42+12414=413+612+41+1上述n个等式相加，得（n+1）414=4（13+23+n3）+6（12+22+n2）+4（1+2+n）+n，4（13+23+n3）=（n+1）416（12+22+n2）4（1+2+n）n=（n+1）46n（n+1）（2n+1）4（n+1）=（n+1）（n+1）3n（2n+1）2n1=（n+1）（n3+n2）13+23+n3=，故答案为三.解答题：17已知p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，q：双曲线=1的离心率e（，）（1）若椭圆+=1的焦点和双曲线=1的顶点重合，求实数m的值；（2）若“pq”是真命题，求实数m的取值范围【考点】椭圆的简单性质
22、；双曲线的简单性质【分析】（1）由双曲线方程可知双曲线的焦点在x轴上，进一步可得椭圆的焦点在x轴上，求出椭圆的半焦距与双曲线的实半轴长，列等式求得m值；（2）由方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，双曲线=1的离心率e（，）分别求出m的范围，结合“pq”是真命题，取交集得答案【解答】解：（1）由双曲线=1，得m0，且a2=5，a=椭圆+=1的焦点和双曲线=1的顶点重合，椭圆+=1的焦点在x轴上，且a2=9m，b2=2m，则，解得m=；（2）方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，9m2m0，即0m3，双曲线=1的离心率e（，），（），即，若“pq”是真命题，则m318在ABC中，内角A、B、C的对边分别
23、是a，b，c，且A、B、C成等差数列（1）若，求ABC的面积（2）若sinA、sinB、sinC成等比数列，试判断ABC的形状【考点】三角形中的几何计算【分析】（1）A、B、C成等差数列，求出B，利用余弦定理求出a，即可求ABC的面积；（2）若sinA、sinB、sinC成等比数列，b2=ac，再用余弦定理，求出a=c，即可试判断ABC的形状【解答】解：（1）A、B、C成等差数列，B=60，由余弦定理，可得7=4+a22a，a=3，ABC的面积S=；（2）sinA、sinB、sinC成等比数列sin2B=sinAsinC，b2=ac，cosB=，a=c，a=b=c，ABC是等边三角形19本学期
24、，学校食堂为了更好地服务广大师生员工，对师生员工的主食购买情况做了一个调查（主食只供应米饭和面条，且就餐人数保持稳定），经调查统计发现凡是购买米饭的人下一次会有20%的人改买面条，而购买面条的人下一次会有30%的人改买米饭若用an，bn分别表示第n次购买米饭、面条的人员比例，假设第一次购买时比例恰好相等，即（1）求an+bn的值（2）写出数列an的递推关系式（3）求出数列an和bn的通项公式，并指出随着时间推移（假定就餐人数为2000）食堂的主食应该准备米饭和面条各大约多少份，才能使广大师生员工满意【考点】数列的应用【分析】（1）由已知可得：a1=，a2=同理可得：b1=，b2=n2时，an=
25、an1（120%）+bn130%，bn=bn1（130%）+an120%可得an+bn=1（2）n2时，an=an1（120%）+bn130%，化为：an=an1+由（1）可得：bn1=1an1，即可得出（3）由（2）可得：an=+，变形为：an=利用等比数列的通项公式可得an进而得到bn=1an【解答】解：（1）由已知可得：a1=，a2=同理可得：b1=，b2=n2时，an=an1（120%）+bn130%，bn=bn1（130%）+an120%an+bn=an1+bn1=a1+b1=1（2）n2时，an=an1（120%）+bn130%，化为：an=an1+由（1）可得：bn1=1an1，
26、an=an1+（1an1）=+（3）由（2）可得：an=+，变形为：an=，数列an是等比数列，首项为，公比为an=即an=bn=1an=+n+时，米饭an=1200份，面条bn=800份因此随着时间推移（假定就餐人数为2000）食堂的主食应该准备米饭和面条分别为1200、800份，才能使广大师生员工满意20已知aR，f（x）=aln（x1）+x，f（2）=2（1）求a的值，并求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程y=g（x）；（2）设h（x）=mf（x）+g（x）+1，若对任意的x2，4，h（x）0，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求得f（x）
27、的导数，由题意解得a=1，求出曲线y=f（x）在x=2处的切线的斜率和f（2），由点斜式方程可得切线方程；（2）由题意可得m（+1）+x0，x2，4，即为m（1x）max，x2，4，由一次函数的单调性，可得最大值，即可得到m的范围【解答】解：（1）f（x）=aln（x1）+x，导数f（x）=+1，则f（2）=a+1=2，解得a=1，f（x）=ln（x1）+1，f（x）=+1，可得曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为1+1=2，f（2）=ln1+1=1，可得曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y1=x2，即为g（x）=x1； （2）h（x）=mf（x）+g（x）+1=m（
28、+1）+x，对任意的x2，4，h（x）0，即为m（+1）+x0，x2，4，即有m+x0，即为m（1x）max，x2，4，由1x12=1，可得m1则实数m的取值范围是（1，+）21已知正三棱柱ABCA1B1C1的各个棱长都相等，E为BC的中点，动点F在CC1上，且不与点C重合（1）当CC1=4CF时，求证：EFA1C（2）设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）过E作ENAC于N，连接EF，NF，AC1，则EN侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，设正三棱柱ABCA1B1C1的各个棱长为4，则CN=1，NFAC1，
29、推导出C1A1C，NFA1C，由此能证明EFA1C（2）连接AF，过N作NMAF于M，连接ME，则EN侧面A1C，根据三垂线定理得EMAF，EMN是二面角CAFE的平面角由此能示出tan的最小值【解答】证明：（1）过E作ENAC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC侧面A1C，EN侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，设正三棱柱ABCA1B1C1的各个棱长为4，CC1=4CF，在直角三角形CNF中，CN=1，则由=，得NFAC1，又AC1A1C，故NFA1C，由三垂线定理可知EFA1C解：（2）连接AF，过N作NMAF于M，连接ME由（I）可知EN侧面A1C，根据三
30、垂线定理得EMAFEMN是二面角CAFE的平面角即EMN=，设FAC=，则045，在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sin故tan=，又045，0sin故当=45时，tan达到最小值，tan的最小值为an=22已知椭圆C：，F1，F2分别为左右焦点，在椭圆C上满足条件的点A有且只有两个（1）求椭圆C的方程（2）若过点F2的两条相互垂直的直线l1与l2，直线l1与曲线y2=4x交于两点M、N，直线l2与椭圆C交于两点P、Q，求四边形PMQN面积的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由已知可得b=c=1，再由隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（2）当直线l1的斜率不
31、存在时，直线l2的斜率为0，求出|MN|、|PQ|，求出四边形的面积；当直线l1的斜率存在时，设直线方程为y=k（x1）（k0），得到直线l2的方程：y=分别联立直线方程与抛物线方程和椭圆方程，利用弦长公式求出|MN|、|PQ|，代入四边形面积公式，利用换元法求得四边形PMQN面积的取值范围【解答】解：（1）在椭圆C上满足条件的点A有且只有两个，A点为椭圆短轴两端点，则b=c=1，a2=b2+c2=2，则椭圆C的方程为：；（2）令M（x1，y1），N（x2，y2），当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，求得|MN|=4，|PQ|=2，则；当直线l1的斜率存在时，设直线方程为y=k（x1）（k0），联立，得k2x2（2k2+4）x+k2=0则，|MN|=l1l2，直线l2的方程：y=令P（x3，y3），Q（x4，y4），联立，得（k2+2）x24x+22k2=0|PQ|=令t=1+k2（t1），四边形PMQN面积的取值范围是2017年3月5日
