1、专题06第二章 平面向量(知识梳理) 学习目标 1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接).4.了解向量形式的三角形不等式：|a|b|ab|a|b|和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2|b|2)|ab|2|ab|2.5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义).6.向量的坐标概念和坐标表示法.7.向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积).8.数量积(点乘或内积)的概念：ab|a|b|cos x1x2y1y2，注意区别“实数与向量的乘法，向量与向量的
2、乘法.”1.向量的运算：设a(x1，y1)，b(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)数乘(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0a(x1，y1)向量的数量积运算ab|a|b|cos (为a与b的夹角)规定0a0数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积abx1x2y1y22.两个定理(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.基底：把不共线的向
3、量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量共线定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.3.向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab有唯一实数使得ba(a0)x1y2x2y10abab0x1x2y1y20类型一向量的线性运算例1(1)如图所示，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_.(2)已知锐角ABC三个内角为A，B，C，向量p(22sin A，cos Asin A)与向量q(sin Acos A,1sin A)是共线向量，则角A_.答案(1)(2)解析(1)设，则m(m1).与共线，(m1)0，m.(2)
4、pq，(22sin A)(1sin A)(sin Acos A)(cos Asin A)0，22sin2Asin2Acos2A，sin2A.又A为锐角，sin A，A.反思与感悟向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心；是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题.跟踪训练1(1)平面上有A(2，1)，B(1,4)，D(4，3)三点，点C在直线AB上，且，连接DC延长至E，使|，则点E的坐标为_.答案(，7)解析，().2(3，6).点C坐标为(3，6).|，且E在DC的延长线上，.设E(x，y)，则(x3，y6)(4x，3y)，得解得(2)在ABC中
5、，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由.解假设存在D点，使得.().所以，存在点D为AC的三等分点时，使得.类型二向量的数量积运算例2已知(2,1)，(1,7)，(5,1)，设C是线段OP上的一点(其中O为坐标原点).(1)求使取得最小值时的；(2)对(1)中求出的点C，求cos ACB.解(1)点C是线段OP上一点，向量与共线，设t，则(2t，t)，0t1.(12t,7t)，(52t,1t)，(12t)(52t)(7t)(1t)5t220t125(t2)28,0t1.当t1时，取得最小值3.此时(2,1).(2)当(2,1)时，(
6、1,6)，(3,0)，cos ACB.反思与感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.(2)求向量的夹角和模的问题设a(x1，y1)，则|a|.两向量夹角的余弦(0)cos .跟踪训练2已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值.解(1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，(3,1)，(m1，m)，而与不平行，即3mm
7、1，得m，实数m时满足条件.(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，则，而(3,1)，(2m,1m)，3(2m)(1m)0，解得m.类型三向量坐标法在平面几何中的运用例3已知在等腰ABC中，BB，CC是两腰上的中线，且BBCC，求顶角A的余弦值的大小.解建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c,0)，则B(c,0)，(0，a)，(c，a)，(c,0)，(2c,0).因为BB，CC为AC，AB边的中线，所以()，同理.因为，所以0，即0，a29c2，又cos A.即顶角A的余弦值为.反思与感悟把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向
8、量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.跟踪训练3若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足，则_.答案2解析建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件即可知：A(0,3)，B(，0)，M(0,2)，(0,1)，(，2).2.例4已知向量(2,0)，(2,2)，(cos ，sin )，则与夹角的范围是_.答案解析建立如图所示的平面直角坐标系.(2,2)，(2,0)，(cos ，sin )，点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆.过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连接CM，CN，如图所示，则向量与的夹角范围是MOB，NOB.|2，|，知COMCON，且COB.MOB，NOB，故，.反思与感悟数形结合是求解数学问题最常用的方法之一，其大致有以下两条途径：(1)以数解形，通过对数量关系的讨论，去研究图形的几何性质.(2)以形助数，一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构造与之相应的图形分析，则能获得更直观的解法，这种解题思想在不少章节都有广泛的应用.跟踪训练4已知向量a2b21，且ab，求：(1)|ab|；(2)a与(ba)的夹角.解作a，b，以，为邻边作ABCD，如图所示.由a2b21及ab得|1，cosBAD.又BAD0，BAD.所以四边形ABCD为边长为1且一个内角为的菱形，易得(1)|ab|1.(2)a与(ba)的夹角为.
