1、2012考前金题巧练（2）祝你成功1已知斜三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面所成角为，点在底面上射影D落在BC上（）求证：平面；（）若点D恰为BC中点，且，求的大小；（III）若，且当时，求二面角的大小2如图4，已知平面是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线的中点，已知（）求证：平面；（）求二面角的余弦值;（III）求三棱锥的体积.3在四棱锥中，侧面底面，为中点，底面是直角梯形。（）求证：平面；（）求证：平面；（III）设为侧棱上一点，;试确定的值，使得二面角为为.4如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，,是线段的中点（）求证/平面；（）求二面
2、角-的大小；（）试在线段上确定一点，使得与所成的角是605在四棱锥中，底面是直角梯形，平面平面.（）求证：平面； （）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；（）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 6. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，（）求证：平面；（）点在线段上，试确定的值，使平面； （）若平面，平面平面， 求二面角的大小7.已知正方形的边长为2，将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示 （）当时，求证：；（）ABCDO当二面角的大小为时，求二面角的正切值8如图所示，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，在底面上的射影落在正方形内，且到的距离分别为和（
3、）求证：是定值；（）已知是的中点，且，问在棱上是否存在一点，使异面直线与所成的角为？若存在，请给出证明，并求出的长；若不存在，请说明理由.9. 如图，四边形中（图1），是的中点，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）（）求证：平面；（）求异面直线与所成角的余弦值；（）求点到平面的距离.10如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面， ,.（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值；（III）若动点M在底面三角形ABC上，二面角的余弦值为，求BM的最小值.2012考前金题巧练（2）参答1解：（I）B1D平面ABC，AC平面ABC，又，AC平面 （II）四边形为菱形， 又D为BC的中点，为侧棱和底面
4、所成的角，即侧棱与底面所成角 （III）以C为原点，CA为x轴CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，则A（a,0,0），B(0,a,0)，平面ABC的法向量，设平面ABC1的法向量为，由，即， ，二面角的大小为2解：依题意可知， 平面ABC，90，空间向量法 如图建立空间直角坐标系，因为4，则 （）， ， 平面 平面 （） 平面AEO的法向量为，设平面 B1AE的法向量为， 即 令x2，则二面角B1AEF的余弦值为 （III）因为， ， 3解：（）取的中点，连结，因为为中点，所以，且。在梯形中，所以四边形为平行四边形，所以平面，平面，所以平面（）平面平面，所以平
5、面，所以如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则，又由平面，可得，又，所以平面（III）平面的法向量为，设平面的法向量为，由得4解：（）建立如图所示的空间直角坐标系设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）, , 又点A、M的坐标分别是,（ =（且NE与AM不共线，NEAM又平面BDE， 平面BDE，AM平面BDF（）AFAB，ABAD，AFAB平面ADF为平面DAF的法向量=（=0，=（=0得，NE为平面BDF的法向量cos0,b0,c0)得，平面BCD的法向量可取,，所以平面ABD的一个法向量为 则锐二面角的余弦值 从而有, 所以平面 （）由（1），D(0,0,0), B(2,
6、0,0),C(0,1,0)， 设异面直线与所成角为,则 （）由可知满足，是平面ACD的一个法向量, 记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d 则 所以d 10解：（）因为为的中点, AB=BC，所以,平面平面，平面平面,平面PAC，；（）以为坐标原点,分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，因为AB=BC=PA=,所以OB=OC=OP=1，从而O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), 设平面PBC的法向量，由，得方程组，取，直线PA与平面PBC所成角的正弦值为；（III）由题意平面PAC的法向量， 设平面PAM的法向量为又因为， 取， =， 或 （舍去）B点到AM的最小值为垂直距离
