1、1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义.2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形).3.利用矩阵A的特征值、特征向量给出An的简单表示，并能用它来解决问题.1.特征值与特征向量的定义设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得A，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量.2.特征多项式的定义设A是一个二阶矩阵，R，我们把行列式f()2(ad)adbc称为A的特征多项式.3.特征值与特征向量的计算设是二阶矩阵A的特征值，为的特征向量，求与的步骤为：第一步：令矩阵A的特征多项式f()2(ad)adbc0，求
2、出的值.第二步：将的值代入二元一次方程组得到一组非零解，于是非零向量即为矩阵A的属于特征值的一个特征向量.4.An(nN*)的简单表示(1)设二阶矩阵A，是矩阵A的属于特征值的任意一个特征向量，则Ann(nN*).(2)设1，2是二阶矩阵A的两个不同特征值，是矩阵A的分别属于特征值1，2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量，设t1t2(其中t1，t2为实数)，则Ant1t2(nN*).1.特征值与特征向量的几何意义如何？【提示】从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0)，特别地，当0时，特征向量就被变换成了零向量.
3、2.特征值与特征向量有怎样的对应关系？【提示】如果向量是属于的特征向量，将它乘非零实数t后所得的新向量t与向量共线，故t也是属于的特征向量.因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了.3.如何求矩阵A幂的作用结果？【提示】由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果.预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：特征值与特征向量的计算与应用(1)求矩阵A的特征值和特征向量；(2)判断矩阵A是否存在特征值和特征向量.A.【精彩点拨】【自主解答】(
4、1)矩阵A的特征多项式为：f()(1)(2).令f()0，解得A的特征值11，22.将11代入二元一次方程组解得y0，x可以为任何非零实数，不妨记xk，kR，且k0.于是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为.将22代入二元一次方程组解得x0，y可以为任何非零实数，不妨记ym，mR，且m0.于是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量为.因此，矩阵A的特征值为1和2，分别对应的一个特征向量是，.(2)特征矩阵为，特征多项式为(1)21.显然(1)210无实根，因此，A没有实特征值，没有实特征向量.1.求矩阵A的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f()，再由f()0求出该矩阵的特征值，然后
5、把特征值代入矩阵A所确定的二元一次方程组即可求出特征向量.2.根据矩阵A的特征值与特征向量求矩阵A的一般思路：设A，根据A构建a，b，c，d的方程求解.(1)若将本例(1)中A变为，则其特征值与特征向量如何求？(2)求矩阵A的特征值和特征向量. 【导学号：30650049】【解】(1)矩阵A的特征多项式为f().令f()0，即25240.由此得到的两个根分别为18，23，即18，23为矩阵A的两个不相等的特征值.将18代入二元一次方程组即得5x6y.它有无穷多个非零解，其中x0，我们任取一个，如，它是属于特征值8的一个特征向量.类似地，对于23，代入二元一次方程组，则有即它有无穷多个非零解，其
6、中x0，我们任取一个，如，它是属于特征值3的一个特征向量.(2)特征矩阵为，矩阵的方程组是解之得y3x，(x，y)(t，3t)，t为任意实数，当t0时，是特征向量.将3代入特征矩阵得.解方程组得yx，即(x，y)(t，t)，t为任意实数.当t0时，得到特征向量.根据A，计算An(nN*)给定的矩阵A，B.(1)求A的特征值1，2及对应的特征向量1，2；(2)求A4B.【精彩点拨】用特征多项式求出，然后求出与对应的特征向量，再利用性质A4Bs1t2求A4B.【自主解答】(1)设A的一个特征值为，由题意知：0，即(2)(3)0，12，23.当12时，由2，得A属于特征值2的特征向量1；当23时，由
7、3，得A属于特征值3的特征向量2.(2)由于B12，故A4BA4(12)241342161812.已知矩阵A和向量，求An(nN*)；其步骤为：(1)求出矩阵A的特征值1，2和对应的特征向量1，2.(2)把用特征向量的组合来表示：s1t2.(3)应用Ans1t2表示An.已知M，计算M5. 【导学号：30650050】【解】矩阵M的特征多项式为f()223.令f()0，解得13，21，从而求得对应的一个特征向量分别为1，2.令m1n2，所以求得m4，n3.M5M5(4132)4(M51)3(M52)4(1)3(2)4353(1)5.(教材第73页习题2.5第1题)求出下列矩阵的特征值和特征向量
8、：(1)A；(2)B；(3)C.已知矩阵M.(1)求矩阵M的逆矩阵；(2)求矩阵M的特征值及特征向量.【命题意图】本题主要考查特征值与特征向量的计算.【解】(1)241350，M存在逆矩阵M1，M1.(2)矩阵M的特征多项式为f()(2)(4)3265，令f()0，得矩阵M的特征值为1或5，当1时，由二元一次方程得xy0，令x1，则y1，所以特征值1对应的特征向量为1.当5时，由二元一次方程得3xy0，令x1，则y3，所以特征值5对应的特征向量为2.1.矩阵A的一个特征值是_，相应的一个特征向量为_.【解析】因为3，它的一个特征值为3，特征向量为.【答案】32.已知A，则矩阵A的特征多项式为_. 【导学号：30650051】【解析】特征多项式为f()(2)212441243.【答案】2433.矩阵A的属于特征值11的特征向量是_，属于特征值22的特征向量是_，它们_(填“共线”“不共线”).【解析】，1.又2，2，1与2不共线.【答案】不共线4.已知A，则A20_.【解析】矩阵A的属于特征值11的特征向量为1，属于特征值2的特征向量2.由s1t2，得st，s1，t3，A2011203.【答案】我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)
