1、专题四 函数讲义5.6 奇偶性知识梳理.奇偶性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立(2)图象法：(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶
2、偶，奇偶奇题型一. 判断奇偶性1已知函数f(x)=2x+12x1，g(x)=2x，则下列结论正确的是（）Af（x）g（x）为奇函数Bf（x）g（x）为偶函数Cf（x）+g（x）为奇函数Df（x）+g（x）为非奇非偶函数【解答】解：f（x）的定义域为2x10，x0，f(x)=2x+12x1=1+2x12x=f(x)，故函数f（x）为奇函数，g（x）定义域为R且g（x）g（x），函数g（x）也为奇函数，f（x）g（x）为偶函数，f（x）+g（x）为奇函数，故选：BC2下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（）Ay=log2(x2+1x)BysinxCy2x2xDy|x1|【解答】解：因为f（
3、x）+f（x）log2（(x)2+1+x）+log2（x2+1x）log2（x2+1x2）0，所以f（x）f（x），即f（x）为奇函数，但是f（1）log2（21），f（0）0，f（1）f（0），不满足单调递增，不符合题意；ysinx在R上不单调，不符合题意；y2x2x在R上单调递增，且f（x）2x2xf（x），即f（x）为奇函数，符合题意；y|x1|为非奇非偶函数，不符合题意；故选：C3设函数f（x）x（ex+ex），则对f（x）的奇偶性和在（0，+）上的单调性判断的结果是（）A奇函数，单调递增B偶函数，单调递增C奇函数，单调递减D偶函数，单调递减【解答】解：根据题意，函数f（x）x（ex+
4、ex），其定义域为R，有f（x）（x）（ex+ex）x（ex+ex）f（x），则f（x）为奇函数，又由f（x）（ex+ex）+x（exex），区间（0，+）上，ex1ex0，则有f（x）0，则f（x）在区间（0，+）上是增函数，故选：A题型二. 已知奇偶性求参、求值1若函数f（x）=k2x1+k2x（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为1【解答】解：函数f（x）=k2x1+k2xf（x）f（x）k2x1+k2x=k2x1+k2x（k21）（2x）21k2（k21）0k1验证k1时，满足函数f（x）在定义域上为奇函数，故答案为：12若函数f（x）xln（x+a+x2）为偶函数，则a的值为（）
5、A0B1C1D1或1【解答】解：函数f（x）xln（x+a+x2）为偶函数，xR，设g（x）ln（x+a+x2）是奇函数，则g（0）0，即lna=0，则a=1，则a1故选：B3（2019全国2）已知f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）eax若f（ln2）8，则a 【解答】解：f（x）是奇函数，f（ln2）8，又当x0时，f（x）eax，f（ln2）ealn28，aln2ln8，a3故答案为：3题型三.两个重要结论1已知函数f（x）=ln(1+x2x)+1，f（a）4，则f（a）2【解答】解：根据题意，f（x）=ln(1+x2x)+1，则f（x）=ln(1+x2+x)+1，则f（x）+f（x）
6、2，即有f（a）+f（a）2，又由f（a）4，则f（a）2；故答案为：22已知函数f（x）（x22x）sin（x1）+x+1在1，3上的最大值为M，最小值为m，则M+m4【解答】解：f（x）（x22x）sin（x1）+x+1（x1）21sin（x1）+x1+2令g（x）（x1）2sin（x1）sin（x1）+（x1），而g（2x）（x1）2sin（1x）sin（1x）+（1x），g（2x）+g（x）0，则g（x）关于（1，0）中心对称，则f（x）在1，3上关于（1，2）中心对称M+m4故答案为：4题型四. 奇偶性和单调性综合1设函数f（x）ln|2x+1|ln|2x1|，则f（x）（）A是偶函
7、数，且在 (12，+)单调递增B是奇函数，且在 (12，12)单调递增C是偶函数，且在(，12)单调递增D是奇函数，且在 (，12)单调递增【解答】解：由2x+102x10，得x12又f（x）ln|2x+1|ln|2x1|（ln|2x+1|ln|2x1|）f（x），f（x）为奇函数，由f（x）ln|2x+1|ln|2x1|ln|2x+12x1|，2x+12x1=1+22x1=1+1x12可得内层函数t|2x+12x1|的图象如图，在（，12），（12，+）上单调递减，在（12，12）上单调递增，又对数式ylnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（12，12）上单调递增，在（
8、，12），（12，+）上单调递减故选：B2已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在0，+）上单调递增，则三个数af（log313），bf（2cos25），cf（20.6）的大小关系为（）AabcBacbCbacDcab【解答】解：根据题意，2log39log313log3273，02cos252cos3=1，120.6212，则有2cos25120.62log313，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则af（log313）f（log313），又由f（x）在0，+）上单调递增，则f(log313)f(20.6)f(2cos25)，即acb，故选：B3（2017新课标）函数f（x）在（，+）单调
9、递减，且为奇函数若f（1）1，则满足1f（x2）1的x的取值范围是（）A2，2B1，1C0，4D1，3【解答】解：函数f（x）为奇函数若f（1）1，则f（1）1，又函数f（x）在（，+）单调递减，1f（x2）1，f（1）f（x2）f（1），1x21，解得：x1，3，故选：D4（2020海南）若定义在R的奇函数f（x）在（，0）单调递减，且f（2）0，则满足xf（x1）0的x的取值范围是（）A1，13，+）B3，10，1C1，01，+）D1，01，3【解答】解：定义在R的奇函数f（x）在（，0）单调递减，且f（2）0，f（x）的大致图象如图：f（x）在（0，+）上单调递减，且f（2）0；故f（1
10、）0；当x0时，不等式xf（x1）0成立，当x1时，不等式xf（x1）0成立，当x12或x12时，即x3或x1时，不等式xf（x1）0成立，当x0时，不等式xf（x1）0等价为f（x1）0，此时x00x12，此时1x3，当x0时，不等式xf（x1）0等价为f（x1）0，即x02x10，得1x0，综上1x0或1x3，即实数x的取值范围是1，01，3，故选：D5已知定义域为R的函数f（x）=2x+b2x+1+a是奇函数若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，则k的取值范围为k13【解答】解：f（x）是R上的奇函数，f（0）0b1；从而有f（x）=12x2x+1+a，又由f（1
11、）f（1）a2；f（x）=12x2+2x+1=12+11+2x，由上式可知f（x）在R上为减函数，又f（x）为奇函数，f（t22t）+f（2t2k）0f（t22t）f（k2t2），f（x）是R上的减函数，由上式可得t22tk2t2，即对一切tR有3t22tk0，从而4+12k0，解得k136（2007天津）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）x2，若对任意的xt，t+2，不等式f（x+t）2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A2，+)B2，+）C（0，2D2，12，3【解答】解：（排除法）当t=2则x2，2+2得f(x+2)2f(x)，即(x+2)22x2x222x20在
12、x2，2+2时恒成立，而x222x2最大值，是当x=2+2时出现，故x222x2的最大值为0，则f（x+t）2f（x）恒成立，排除B项，同理再验证t3时，f（x+t）2f（x）恒成立，排除C项，t1时，f（x+t）2f（x）不成立，故排除D项故选：A7（2017江苏）已知函数f（x）x32x+ex1ex，其中e是自然对数的底数若f（a1）+f（2a2）0则实数a的取值范围是1，12【解答】解：函数f（x）x32x+ex1ex的导数为：f（x）3x22+ex+1ex2+2ex1ex=0，可得f（x）在R上递增；又f（x）+f（x）（x）3+2x+exex+x32x+ex1ex=0，可得f（x）为
13、奇函数，则f（a1）+f（2a2）0，即有f（2a2）f（a1）由f（a1）f（a1），f（2a2）f（1a），即有2a21a，解得1a12，故答案为：1，128（2015新课标）设函数f（x）ln（1+|x|）11+x2，则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（）A（，13）（1，+）B（13，1）C（13，13）D（，13）(13，+)【解答】解：函数f（x）ln（1+|x|）11+x2为偶函数，且在x0时，f（x）ln（1+x）11+x2，导数为f（x）=11+x+2x(1+x2)20，即有函数f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（2x1）等价为f（|x|）f（|2x1|），即|x|2x1|，平方得3x24x+10，解得：13x1，所求x的取值范围是（13，1）故选：B
