1、专题04立方根和开立方、n次方根（2大考点+6种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一、开立方考点二、开次方题型一：立方根概念理解题型二：求一个数的立方根题型三：已知一个数的立方根，求这个数题型四：立方根的实际应用题型五：算术平方根和立方根的综合应用题型六：n次方根考点一、开立方1、定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方2、如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，“3”叫做根指数注意：1） 任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；2） 零的立方根是0；3） 一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1考点二、次方根1
2、、求一个数的次方根的运算叫做开次方叫做被开方数，叫做根指数2、 如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根3、 当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根注意：1） 实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示其中被开方数是任意一个数，根指数是大于1的奇数；2） 正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负次方根用“”表示其中被开方数，根指数是正偶数（当时，在中省略）；3） 负数的偶次方根不存在；4） 零的次方根等于零，表示为题型一：立方根概念理解【例1】（2024下全国七年级假期作业）给出下列四个说法：一个数的平方等于1，那么这个数就是1；4
3、是8的算术平方根；平方根等于它本身的数只有0；8的立方根是其中正确的是（）ABCD【变式1】（2023下七年级课时练习）下列说法中，错误的是（）A8的立方根是2B4的算术平方根是2C的平方根是3D立方根等于它本身的数是1，0【变式2】（2023上河北沧州七年级统考期中）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是（）A1BC1或D1、或0题型二：求一个数的立方根【例2】（2023上浙江温州七年级校联考期中）的立方根是（）ABCD【变式1】（2021下上海徐汇七年级校考期中）如果，那么 【变式2】（2023上浙江杭州七年级校考期中）计算：的值等于 【变式3】（2023下上海静安七年级上海市回民中学校
4、考期中）已知是正的平方根，是的立方根，求的立方根的值【变式4】（2023下上海宝山七年级校考阶段练习）解方程：【变式5】（2023下上海宝山七年级统考期末）计算：题型三：已知一个数的立方根，求这个数【例3】（2021下上海宝山七年级校考期中）实数a的立方根是，则a 【变式1】（2023下上海七年级专题练习）4的平方根是 ；算术平方根是 ；是 的立方根【变式2】（2023下七年级单元测试）已知，则 【变式3】（2023下上海浦东新七年级校考期末）如果，那么 【变式4】（2021下上海松江七年级校考期中）解方程：，则 题型四：立方根的实际应用【例4】（2022下上海七年级专题练习）填写下表，并回答
5、问题：a0.0000010.001110001000000（1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？（2）根据这个规律，若已知，求a的值【变式1】（2021下上海浦东新七年级校考期中）已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长【变式2】（2022下上海七年级专题练习）【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根华罗庚脱口而出：“39”邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：第一步：，能确定59319的立方根是个两位数第
6、二步：59319的个位数是9，能确定59319的立方根的个位数是9第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题（1）求110592的立方根，写出步骤（2）填空：_题型五：算术平方根和立方根的综合应用【例5】（2021下上海七年级校考期中）求值： 【变式1】（2023下七年级单元测试）若的算术平方根是7，则的立方根是 【变式2】（2022上上海七年级专题练习）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4(1)求a，b的值(2)求6a+3b的平方根【变式
7、3】（2022下上海七年级期中）阅读下列解题过程，并按要求填空：已知：1，1，求的值解：根据算术平方根的意义，由1，得（2xy）21，2xy1第一步根据立方根的意义，由1，得x2y1第二步由、，得，解得第三步把x、y的值分别代入分式中，得0第四步以上解题过程中有两处错误，一处是第 步，忽略了 ；一处是第 步，忽略了 ；正确的结论是 （直接写出答案）【变式4】（2022上上海七年级专题练习）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），由此可见，被开方数的小数点每向右移动_位，其算术平方根的小数点向_移动_位（2）已知，则_；_（3），小数点的变化规律是_（4）已知，则_题型六：n次方根【例6
8、】（2022下上海七年级专题练习）表示的含义是（）Aa的正的n次方根Ba的n次方根C当时，表示a的正的n次方根D当时，且n为奇数时，表示a的n次方根【变式1】（2022下上海七年级专题练习）16的四次方根是（）A2B-2CD【变式2】（2022下上海七年级专题练习）的6次方根是（）A2B-2CD【变式3】（2022下上海七年级专题练习）计算：（）A8B-8C2D-2【变式4】（2023下上海奉贤七年级校考期中）已知，则实数 【变式5】（2023下上海嘉定七年级校考阶段练习）已知与是同一个正数x的两个不同的平方根(1)求字母m的值；(2)求x的四次方根【变式6】（2022下上海闵行七年级上海市七
9、宝中学校考期中）已知，求的n次方根（n为大于1的整数）一、单选题1（2022下上海七年级专题练习）下列运算中，正确的是（）AabBCabDa+b2（2022下上海七年级专题练习）下列各式正确的是（）A=aBa0=1C=-4D=-53（2022下上海七年级专题练习）如果，那么y=（）A3B-3CD4（2023上浙江温州七年级校考期中）的立方根是（）AB3CD5（2023上浙江宁波七年级宁波市第七中学校考期中）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（）A25分B50分C75分D100分6（2023上山东济南七年级校考阶段练习）若，则的值为（）AB0C或2D或二、填空题7（2023上黑龙江绥化七年级校
10、考期中）若一个数的算术平方根和立方根都等于它本身，则这个数一定是 8（2024下全国七年级假期作业）如果是的算术平方根，是的立方根，那么 9（2023上浙江绍兴七年级校联考期中）已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是 cm10（2023上浙江绍兴七年级新昌县七星中学校考期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的立方根是 11（2023上浙江温州七年级校考期中）若，则 12（2023上浙江杭州七年级统考期中）如果x是9的平方根，y是的立方根，则 13（2023上黑龙江哈尔滨七年级哈尔滨市第四十
11、七中学校考阶段练习）已知，的立方根 .14（2023上浙江嘉兴七年级校联考阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4则 ， 15（2023上山东淄博七年级淄博市淄川实验中学校考阶段练习）的立方根是 ，的平方根是 16（2024下全国七年级假期作业）已知的平方根是，且4，则的值为 17（2023下七年级课时练习）对于实数a，b，定义mina，b的含义为：当ab时，mina，ba例如：min1，22已知，且a和b为两个连续正整数，则a2b的立方根为 18计算： 三、解答题19（2023下七年级课时练习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)20（2023下辽宁营口七年级统考期中）求x的值：(1)
12、；(2)21（2024下全国七年级假期作业）已知与互为相反数，求的立方根22（2023下七年级课时练习）已知是m3的算术平方根，B是n2的立方根，求A，B的值23（2023下七年级课时练习）如果是a3b的算术平方根，是的立方根，求2a3b的立方根24（2024下全国七年级假期作业）（1）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根；（2）已知a，b都是有理数，且，求的平方根25（2023上黑龙江哈尔滨七年级校联考期中）阅读与探究本学期我们在实数中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容平方根立方根定义一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根这就是说，如果，那么x叫
13、做的平方根一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根运算求一个数的平方根的运算，叫做开平方开平方与平方互为逆运算求一个数的立方根的运算，叫做开立方开立方与立方互为逆运算性质正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数表示方法正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根(1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： (2)探究性质：的四次方根是 ；的四次方根是 ； （填“有
14、”或“没有”）四次方根类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： 26（2024下全国七年级假期作业）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：我们知道，当时，也成立因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数(1)试举一个例子来判断猜测的结论是否成立；(2)根据以上结论，若与的值互为相反数，求的值27（2023上浙江温州七年级校考期中）如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块(1)求出这个铁块的棱长(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长
