1、专题04 函数零点问题之分段分析法模型一、单选题1（2023浙江宁波高三统考期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】因为函数至少存在一个零点所以有解即有解令，则因为，且由图象可知，所以所以在上单调递减，令得当时，单调递增当时，单调递减所以且当时所以的取值范围为函数的值域，即故选：A2（2023黑龙江高三大庆市东风中学校考期中）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【解析】令,则，设，令， ，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点
2、需满足，即应选答案D3（2023湖北高三校联考期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【解析】由题意得函数的定义域为又，函数至少存在一个零点，方程有解，即有解令，则，当时，单调递增；当时，单调递减又当时，；当时，要使方程有解，则需满足，实数的取值范围是故选D4（2023福建厦门厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个，使得方程成立则实数的取值范围为ABCD【答案】B【解析】原方程化简得:有解,令,当时,所以f(x)在单调递减,当xe时, ,所以f(x)在单调递增.所以.选B.5（2023湖南长沙高三长沙一中校考阶段练习）设函数（其中为自然对数的底数），若函数
3、至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】依题意得，函数至少存在一个零点，且，可构造函数和，因为，开口向上，对称轴为，所以为单调递减，为单调递增；而，则，由于，所以为单调递减，为单调递增；可知函数及均在处取最小值，所以在处取最小值，又因为函数至少存在一个零点，只需即可，即：解得：.故选：D.6（2023全国高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】令，即令，则函数与函数的图象至少有一个交点易知，函数表示开口向上，对称轴为的二次函数，函数在上单调递增，在上单调递减，作出函数与函数的草图，如下图所示由图可
4、知，要使得函数与函数的图象至少有一个交点只需，即解得：故选：B7（2023全国高三校联考专题练习）已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】令，则由题意可得函数的图象与函数的图象有三个交点，即方程有三个不同的实数根由可得，即，令，则直线与函数的图象有三个交点，易得，当或时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值为，极大值为又，所以当时，直线与函数的图象有三个交点，故实数的取值范围为故选B8（2023全国高三假期作业）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自
5、然对数的底数，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】由得，设，则，则有解，设，为增函数，当时，递增，当时，递减，所以当时函数取极小值，即，若有解，则，即，所以或，故选：B9（2023全国高三专题练习）若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值范围为（）ABCD【答案】D【解析】依题意存在正实数x，y，使得等式成立，当时，不符合题意，所以令，构造函数，所以在上递增，所以在区间递减；在区间递增.所以的最小值为.要使有解，则，当时，成立，当时，.所以的取值范围是.故选：D二、填空题10（2023全国模拟预测）若函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取
6、值范围为_【答案】【解析】函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数的图像只有一个交点，函数与函数的图像的唯一交点为又，且，在上恒小于零，即在上为单调递减函数又，当且仅当，即时等号成立，且是最小正周期为2最大值为的正弦型函数，可得函数与函数的大致图像如图所示要使函数与函数的图像只有唯一一个交点，则，解得对，实数的取值范围为故答案为：.11（2023全国高三专题练习）已知函数(e为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由，得，且 由，则若，则，此时，在上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.若，设，则，所以在上单调递增由，所以有唯一实数根，设为，即
7、则当时，则在单调递减，当时，则在单调递增，所以当时，由可得，即，即所以， 又当时，当，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得所以函数有两个不同零点，则设，则当时，有，则在上单调递增.当时，有，则在上单调递减.又当时，所以当时，当时，所以的解集为 故答案为：12（2023全国高三专题练习）已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】转化为有四个解，即在范围内有四个解，即在范围内有四个解，即在范围内有四个解，即在范围内有四个解，令，则，令得，所以当时，当时，所以在单调递增，在单调递减，所以，做出大致图像如下：令，则原方程转化为，令，令得，当时，当时，所以在递减，在递增，做出大致图像如下：所以时，对应解出两个值，从而对应解出四个值，故答案为：.13（2023全国高三专题练习）设函数 记若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】依题意，令，即，设，求导得，当时，当时，即函数在上递增，在上递减，因此当时，因当时，的取值集合为，的取值集合为，则当时，的取值集合为，当时，的取值集合为，的取值集合为，即当时，的取值集合为，所以函数至少存在一个零点，实数的取值范围是.故答案为：.
