1、专题03 空间几何（解答题10种考法）考法一 平行【例1-1】（2023春河北邯郸 ）如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.(1)证明：平面ABED.(2)证明：平面平面BCFE.【例1-2】（2023秋云南）如图，四棱锥的底面为平行四边形设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点(1)求证：平面平面；(2)求证：【例1-3】（2023青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为ABE的重心，证明：平面ABC【例1-4】（2023全国统考高考真题）如图，在正四棱柱中，点分别在
2、棱,上，证明：【例1-5】（2023全国高三专题练习）如图，在三棱锥中，为点在平面上的射影，为的中点证明：平面.【变式】1（2023春浙江金华）在正方体中，分别是和的中点，求证(1)(2)平面(3)平面平面2（2023春新疆省直辖县级单位 ）如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，F为CD的中点，求证：平面BCE.3（2022春浙江温州 ）已知三棱锥中，为中点，为中点，在上，求证：平面4（2022秋吉林长春）如图，在正三棱柱中，点在上，且，为中点，证明：平面考法二 垂直【例2-1】（2023秋海南海口 ）已知三棱锥中，底面，分别为，的中点，于(1)求证：平面；(2)求证：平面平面【例2
3、-2】（2022河北石家庄模拟预测）如图，在四棱锥中，点为的中点，且平面，求证：平面【例2-3】（2023北京）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.【例2-4】（2023全国高三专题练习）如图，三棱锥中，均为等边三角形，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC证明：面POD【变式】1.（2023全国统考高考真题）如图，三棱锥中，E为BC的中点，证明：；2（2023秋山东）如图所示，在正方体中，为棱的中点，N为棱上的点，且，求证：. 3（2023湖南）如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面为正方形，.求证：
4、平面. 4.（2023湖北）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上，求证：考法三 空间角之向量法【例3-1】（2022天津统考高考真题）直三棱柱中，D为的中点，E为的中点，F为的中点(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值【例3-2】（2023广东茂名统考一模）如图所示，三棱锥，BC为圆O的直径，A是弧上异于B、C的点.点D在直线AC上，平面PAB，E为PC的中点.(1)求证：平面PAB；(2)若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.【变式】1（2023云南校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为的中点(
5、1)证明：；(2)求二面角的平面角的余弦值2.（2023全国统考高考真题）如图，三棱锥中，E为BC的中点(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值3（2022全国统考高考真题）如图，是三棱锥的高，E是的中点(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值考法四 空间角之几何法【例4-1】（2023秋四川遂宁 ）如图，多面体中，四边形为平行四边形，四边形为梯形，平面(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【例4-2】（2023春河南商丘 ）如图，四边形是正方形，平面，且 . 求：(1)求二面角的大小(2)求二面角的大小.(3)求二面角的大小的正弦值【变式】1（2023春福建宁德 ）四
6、棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，已知，(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值2（2023秋山东潍坊高三校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，且，平面，分别是线段，的中点.(1)证明：；(2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.考法五 空间距离之向量法【例5】（2023重庆统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，ABC是正三角形(1)若为AB的中点，求证：直线平面；(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离【变式】1（2023天津北辰校考模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，为中点，在线段上，且.(1)求证：平面；(2)求直线PB与平面所成角的正弦
7、值；(3)求点到PD的距离.2（2023江西景德镇统考三模）如图，等腰梯形中，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.(1)证明：面面；(2)若为上的一点，点到面的距离为，求二面角的余弦值.3（2023黑龙江哈尔滨哈师大附中校考模拟预测）三棱台中，平面，且，是的中点(1)求三角形重心到直线的距离；(2)求二面角的余弦值考法六 空间距离之几何法【例6】（2023天津统考高考真题）三棱台中，若面，分别是中点. (1)求证：/平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离【变式】1（2023江西景德镇统考三模）如图，等腰梯形ABCD中，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且
8、.(1)证明：平面平面；(2)若M为PD的中点，求点P到平面的距离.2（2023新疆统考三模）如图，在四棱锥中，底面是长方形，点为线段的中点，点在线段上，且(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离3（2023江西景德镇统考三模）如图，等腰梯形ABCD中，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.(1)证明：平面平面；(2)若M为PD的中点，求点P到平面的距离.考法七 折叠问题【例7】（2023秋山东泰安 ）如图1，四边形为矩形，E为的中点，将、分别沿、折起得图2，使得平面平面，平面平面(1)求证：平面；(2)若F为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值【变式】1（2023河南校联考模
9、拟预测）已知中，将沿折起，使点A到点处，(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值2（2023吉林长春东北师大附中校考一模）长方形中，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）(1)求证：；(2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积考法八 动点【例8-1】（2023春山西运城高一统考期中）如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、的中点(1)证明：平面；(2)在线段是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由【例8-2】（2023秋湖南长沙 ）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点(1)求证：平面；(2)在
10、棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由【变式】1（2023全国统考高考真题）如图，在正四棱柱中，点分别在棱,上，(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求2（2023春浙江嘉兴）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，且，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请找出该点，并给出证明；若不存在，请说明理由.3（2023北京）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，且，是的中点在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由4（2023四川南充四川省南充高级中学校考三模）如图，在四棱台中，底面是菱形，平
11、面.(1)证明：BDCC1；(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.考点九 外接球【例9】（2023湖南）如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）若直线与底面所成的角的余弦值为，求三棱锥的外接球表面积.【变式】1（2023全国模拟预测）如图，球O是正三棱锥和的外接球，M为的外心，直线AM与线段BC交于点D，D为BC的中点，两三棱锥的高之比为，E为PA上一点，且(1)证明：；(2)求二面角的正弦值2（2023全国高三专题练习）如图矩形中，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为(1)求证：平面平面；(2)求平面与平
12、面夹角的余弦值；(3)M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度考法十 最值【例10】（2023福建泉州统考模拟预测）如图，三棱锥中，平面平面.(1)求三棱锥的体积的最大值；(2)求二面角的正弦值的最小值.【变式】1（2023河南襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台中，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面(1)求；(2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值2（2023江苏金陵中学校联考三模）如图，圆锥中，为底面圆的直径，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.(1)当时，证明：平面；(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.3（2023四川内江校考模拟预测）在直角梯形中，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段上，二面角的大小为(1)若，证明：平面；(2)若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值
