1、专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型1三、专项训练7一、必备秘籍实根问题，换元法令将函数化简为，在利用正弦函数的图象来解决交点（根，零点）的问题.二、典型题型1（2023四川成都石室中学校考模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A1B2C3D4【答案】C【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，当时，；当时，；当时，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.2（2023浙江校联考二模）函数的图象向左平移个单位长度后对应
2、的函数是奇函数，函数若关于x的方程在内有两个不同的解，则的值为（）ABCD【答案】B【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的解析式为，因为所得函数为奇函数，所以，则有，因为，所以，所以，因为，所以，所以由，可得，所以，且，则，所以，故选:B.3（2023河南校联考模拟预测）已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（）ABCD【答案】C【详解】由题意可知，的最小正周期，因为，可知为的一条对称轴，所以在之后的零点依次为，若在区间上恰有3个零点，所以.故选：C.4（2023上海嘉定校考三模）若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是 .【答案】【详解】原方程等价于即函数
3、，在上有交点，故，则.故答案为：5（2023全国长郡中学校联考模拟预测）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则的解析式为 ；若方程在的解为、，则 .【答案】 【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则，当时，由题意可得，即，令，得，可得函数的图象关于直线对称，所以，且，.故答案为：；.6（2023黑龙江哈尔滨哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，_，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；函数的图象的一个对称中心
4、为且.(1)求函数的解析式；(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得， ，由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故,故.若选，函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，由题意知该函数为偶函数，故，由于且，即，故，故；若选，函数的图象的一个对称中心为且，则，由于且，即，故，故；（2）由题意可得，由于在区间上恰有3个零点，故，即.7（2023秋新疆乌鲁木齐高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数的图象向右平移个单位长
5、度，得到函数的图象(1)求与的解析式；(2)令，求方程在区间内的所有实数解的和【答案】(1)，(2)【详解】（1）由图可知，函数的周期，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，所以；（2），由，得，因为，所以，所以或或或，所以或或或，所以方程在区间内的所有实数解的和为三、专项训练1（2023陕西西安西安一中校联考模拟预测）将函数图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，并沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象若的图象关于点对称，则函数在上零点的个数是（）A1B2C3D4【答案】B【详解】将图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍
6、，得到的图象，继续沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象，的图象关于点对称，得，又，令，当时，有，由，可得，结合函数的图象可得，在上只有2个解，即函数在上零点的个数是2故选：B.2（多选）（2023山东菏泽山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（）ABCD【答案】CD【详解】因为，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则，当时，则，由得，可得，所以，解得，故选：CD.3（多选）（2023福建三明统考三模）已知函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，且对于任意，不等式恒成立，则（）
7、AB的取值范围为C在区间上单调递增D若实数使得方程在恰有，三个实数根，则的最小值为【答案】AC【详解】由题意，图象与直线相邻两个交点的距离为，最小正周期，A正确此时，当时，又，对，不等式 恒成立，解得，故B错误对于，当时，所以，在此区间上单调递增，故C正确对于，令，则当时，作出在上的图象，如图所示，设与图象的交点横坐标从左至右依次为，由图可知：，关于对称，关于对称，故，又，所以，由可得，即的最小值为，D错误故选：AC4（2023黑龙江大庆大庆中学校考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为 .【答案】（答案不唯一）【详解】由题设，在，
8、则，要使在区间上有且仅有一个零点，所以，即，故满足要求.故答案为：（答案不唯一）5（2023陕西咸阳武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，当（其中）时，有且只有一个解，则的取值范围是 .【答案】【详解】由于，所以有且只有一个解，即有且只有一个解，因为，所以，由题意知，解得，即的取值范围是为，故答案为：6（2023辽宁鞍山鞍山一中校考二模）函数的部分图象如图所示(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值【答案】(1)(2)，【详解】（1）由图可知，又，由可得，；
9、（2）将向右平移个单位得到，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，令，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，又，；由对称性可知，7（2023宁夏银川校考模拟预测）已知函数（，）.再从条件、条件、条件这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.条件：函数的最小正周期为；条件：函数的图象经过点；条件：函数的最大值为.(1)求的解析式及最小值；(2)若函数在区间（）上有且仅有1个零点，求的取值范围.【答案】(1)选择，的最小值为；选择，的最小值为(2)选择；选择【详解】（1）由题可知，选择：因为，所以，又因为，所以所以当，即时，所以函数的最小值为选择：因为，所以，又因为函数的最大值为，所以所
10、以，当，即时，所以函数的最小值为选择：因为，所以又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意（2）选择：因为,，所以，又因为在区间（）上有且仅有1个零点，所以，所以，所以选择：因为,，所以，又因为在区间（）上有且仅有1个零点，又时，或，所以，所以，所以8（2023福建宁德校考模拟预测）已知函数.(1)若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围；【答案】(1)或；【详解】（1）依题意，当时，则当时，单调递增，函数值从增大到2，当时，单调递减，函数值从减小到，方程在上有且只有一个实数根，即直线与函数在的图象只有一个公共点，在同一坐标系内作出直线与函数在的图象，如图，观察图象，当或时，直线与
11、函数在的图象只有一个公共点，所以实数m的取值范围是或.9（2023秋辽宁高三校联考阶段练习）已知曲线（，）相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，且为奇函数.(1)求函数的的解析式和其图象的对称中心；(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)；对称中心为，(2)【详解】（1）由题意可知，将函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位后得到的新函数为：，又为奇函数，且定义域为，且，令，解得，的对称中心为，.（2）由（1）可知，设，由关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，可得在区间内仅有一个实数根，且另
12、一个根不等于1或在内有两个相等的根，令，则，故或，解得或.所以.10（2023秋安徽六安高三六安一中校考阶段练习）已知函数(1)求函数在区间上的单调递减区间；(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、，求实数的取值范围和的值.【答案】(1)(2)，【详解】（1）解：，因，则，又在上单调递增，在上单调递减，由可得，即函数在区间上的单调递减区间为.（2）解：将函数的图象上所有的点向右平移个单位，可得到函数的图象，再把所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可
13、得到函数的图象，再将所得图象向上平移个单位，可得到函数的图象，当时，令，则，令，令，可得，其中，作出函数与函数在时的图象如下图所示：由图可知，当时，函数与函数在时的图象有三个交点，设，其中，则点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，所以，则，所以，解得.11（2023秋河南新乡高三卫辉一中校联考阶段练习）已知函数相邻两条对称轴的距离为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称(1)求；(2)设函数，当时，方程有且仅有两个实数根，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）解，因为函数相邻两条对称轴的距离为，可得，即，所以，即，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
14、因为的图象关于原点对称，所以，又因为，所以，所以（2）解：由（1）可知，因为，所以，当时，即，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，要使得有且仅有两个实数根，即和的图象有两个不同的交点，如图所示，可得，即实数的取值范围是12（2023秋安徽六安高三六安二中校联考阶段练习）已知，其中，且满足，(1)求的解析式；(2)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题意，函数，由得， 又因为，由，得：，所以，所以的解析式为：.（2）由（1）得，因为，所以，所以，则有，即又因为方程在区间上总有实数解，所以在区间上成立，所以，所以，所以实数的取值范围为.13（20
15、23春黑龙江齐齐哈尔高一齐齐哈尔中学校考期中）已知函数的最小正周期为.(1)求的解析式及对称轴方程；(2)若关于x的方程在上有两个不等实数解，.求实数m的取值范围；求的值.【答案】(1)，对称轴方程(2)； 0【详解】（1），的最小正周期为，解得，故；由，解得的对称轴方程.（2），即，关于的方程在区间上有相异两解，则函数与的图象在区间上有两个交点，在上单调递增，在上单调递减，且，在上的图象如图：由图象可知，若函数与的图象在区间上有两个交点，则，故实数的取值范围为；由（1）和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，则，解得，故14（2023秋内蒙古通辽高三校考阶段练习）已知函数(1)求的最小正周期
16、(2)求的单调递增区间(3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围【答案】(1)最小正周期为(2)(3)【详解】（1）函数故函数的最小正周期为（2）令，解得，单调递增区间为（3）因为，所以，所以，所以的值域为，关于的方程在上有解，则关于的方程在上有解，所以，所以，所以实数的取值范围是15（2023全国高三专题练习）已知向量，函数，(1)当时，求的值；(2)若的最小值为1，求实数m的值；(3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，【详解】（1），当时，则；（2），则，令，则，则，对称轴，当，即时，当时，函数取得最小
17、值，此时最小值，得（舍），当，即时，当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去），当，即时，当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），综上：若的最小值为1，则实数（3）令，得或，方程或在上有四个不同的实根，则，解得，则，即实数m的取值范围是16（2023秋辽宁沈阳高三新民市高级中学校考开学考试）已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)方程在上的两解分别为，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1），由，得，所以的单调递增区间为：.（2）设，则，由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，由，得，因为方程在上的两解分别为，则，必有，所以，同理，由于且，则，由，可得.17（2023春重庆长
18、寿高一重庆市长寿中学校校考期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式；(2)当时，求的单调递减区间；(3)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值.【答案】(1)(2)单调递减区间为(3)，【详解】（1）由题意得，因为图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，又由为奇函数，可得，此时为奇函数，符合题意，函数；（2）令，解得，则的单调递减区间为：，又，可得的单调递减区间为；（3）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则，故，即，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象：可得方程在区间有5个解，即，其中，即，解得，所以.
