1、专题03 一元一次方程核心考点聚焦1、能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；2、能解一元一次方程；3、通过用方程表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；4、在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。一、一元一次方程的概念1.方程：含有未知数的等式叫做方程2.一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程注：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1；未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数3.方程的解：使方程的左、右两边相等的未
2、知数的值叫做这个方程的解4.解方程：求方程的解的过程叫做解方程二、等式的性质与去括号法则1.等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等2.合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变3.去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数(2)去括号：依据乘法分配律和去
3、括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为axb(a0)的形式(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a0)(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程速度时间 2.和差倍分问题：增长量原有量增长率 3.利润问题：商品利润商品售价商品进价 4.工程问题：工作量工作效率工作时间，各部分劳动量之和总量5.银行存贷款问题：本
4、息和本金+利息，利息本金利率期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.考点剖析例1：把等式变形为是根据（）A等式左右两端都加上B在等式左右两端都加上C在等式左右两端都加上D在等式左右两端都加上【答案】C【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数（或字母），等式仍成立利用等式的性质即可求解【详解】解：把等式变形为是根据在等式左右两端都加上故选：C变式1-1：若是方程的解，则代数式的值是 【答案】1【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值整体代入是解题的关键由题意知，整理得，然后代入求解即
5、可【详解】解：由题意知，整理得， ，故答案为：1变式1-2：已知： (1)求的值(结果用化简后含 a、b的式子表示)；(2)在(1) 的条件下， 若是方程 的解，求a的值；(3)若的值与a的取值无关， 求b的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先化简，再把，代入计算即可；（2）把（1）的计算结果代入得，再把代入计算即可；（3）由（1）得，再根据的值与a的取值无关，得，求解即可【详解】（1）解：，原式；（2）解：把代入，得；（3）解：由（1）得，的值与a的取值无关，【点睛】本题考查整式的加减混合运算，方程的解，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键例2：已知与互为相反数，则m的取值
6、是（）A6B7C8D9【答案】D【分析】本题考查了相反数的定义，一元一次方程的解法，根据相反数的定义列方程求解即可【详解】解：与互为相反数，故选：D变式2-1：已知方程与的解相同，则k的值为 【答案】【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程，得出，代入，即可求解【详解】解：解得：，将代入，即，故答案为：变式2-2：解下列方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解一元一次方程；（1）按照合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程；（2）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解【详解】（1）解：，合并同类项，化系数为1，；（2）解：
7、移项，合并同类项，化系数为1，例3：解方程时，去分母正确的是（）ABCD【答案】D【分析】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数，方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断【详解】解：在解方程时，去分母得：，故选：D变式3-1：已知关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为 【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的解，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键先根据等式的性质求出方程的解是，根据方程的解为整数和k为整数求出k，再求出和即可【详解】解：，关于x的方程的解为整数，k为整数，或或或，解得：或或或，和为故答案为：变式3-2：解下列方程(1)；(2)
8、；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了解一元一次方程，（1）移项，合并同类项，系数化为1，即可；（2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可；（3）先去分母，再去括号，接着移项，合并同类项，系数化为1，即可；（4）先去分母，再去括号，接着移项，合并同类项，系数化为1，即可【详解】（1）；（2）；（3）；（4）例4：某轮船在静水中的速度为，水流速度为，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为，则可列方程为（ ）AB CD 【答案】D【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先分别求出顺流航行和逆流航行的速度
9、，再根据往返的时间和等于5小时结合时间路程速度，列方程即可【详解】解：由题意得，顺流航行的速度为，逆流航行的速度为，故选：D变式4-1：已知一条笔直的公路旁依次有A，B，C三地，A、B两地相距30千米，小明乘车从A地出发，以每小时30千米的速度驶向C地，同时小丽乘车从B地出发，以每小时20千米的速度驶向C地，当两人相距10千米时，两人乘车的时间为 小时【答案】2或4/4或2【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件；设两人相距10千米时，两人乘车的时间为小时，分两种情况：两人相遇之前相距10千米，两人相遇之后相距10千米，解答即可；【详解】设两人相距10千
10、米时，两人乘车的时间为小时，分两种情况：两人相遇之前相距10千米，根据题意，得，解得；两人相遇之后相距10千米，根据题意，得，解得综上所述，当两人相距10千米时，两人乘车的时间为小时或小时；故答案为：2或4变式4-2：某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的，两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区地，此时两车相距20千米，甲车在服务区地休息了20分钟，然后按原速度开往地；乙车行驶2小时10分钟时也经过地，未停留继续开往地(1)求甲、乙两车行驶的速度分别是多少千米/小时：(2)乙车出发多长时间，两车相距200千米？【答案】(1)60千米/时，120
11、千米/时(2)1或小时【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，即行程问题：（1）用乙的路程除以乙的时间，即为乙的速度；算出两地的距离，再用甲的路程除以甲的时间，即为甲的速度；（2）依题意，要进行分类讨论，设乙车出发小时，两车相距200千米，或设乙车出发小时，两车相距200千米，再进行列式计算，即可作答正确掌握相关性质内容是解题的关键【详解】（1）解：由题意可得，乙车10分钟行驶20千米，10分钟小时，乙车的速度（千米/时），两地的距离（千米），两地的距离（千米），甲车的速度（千米/时）；（2）解：设乙车出发小时，两车相距200千米，由题意得，解得；设乙车出发小时，两车相距200千米，由题意得
12、，解得，综上：乙车出发1或小时，两车相距200千米例5：一件工程甲单独完成需要20小时，乙单独完成需要12小时，现由甲先单独做4小时，然后乙加入合做直到完成，共需合做（）A6小时B5小时C4小时D7.5小时【答案】A【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出甲乙的工作效率，对于工程类题目，一般我们设工作量为单位1甲的工作效率为，乙的工作效率为，设一共需合做x小时，根据工作总量为1，可得出方程，解出即可【详解】解：设一共需合做x小时，由题意得，甲的工作效率为，乙的工作效率为，由题意得，解得：答：共需合作6小时故答案为：A变式5-1：一项工程甲队单独完成此项工程需60天，乙队单独完
13、成此项工程需90天若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 天可以完成此项工程【答案】30【分析】设剩下的工程再由甲乙合作x天可以完成此项工程，根据两次完成的工作量之和为1建立方程求出其解即可【详解】解：设剩下的工程再由甲乙合作x天可以完成此项工程，由题意得：解得：，故答案为：30【点睛】本题考查了工程问题的工作量=工作效率工作时间的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答本题时根据各部分工作量之和等于工作总量建立方程是关键变式5-2：第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，为了迎接亚洲冬季运动会，现要修一条公路，甲工程队单独修需30天完成，乙工程队单独完成需要的
14、天数是甲工程单独完成天数的少1天(1)乙工程队单独完成需要多少天？(2)若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条公路，求甲乙还需合作几天修完这条路？【答案】(1)20天(2)10天【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决这道题的关键是要知道工作效率=工作总量工作时间（1）根据题意，列出式子，即可解答；（2）把整条路的工作总量看作单位1，再根据题意列方程，即可解答【详解】（1）解：由题意得乙工程队需要的天数为，答：乙工程队单独完成需要20天；（2）解：设甲乙还需合作y天修完这条路，由题意得：，解得：，答：甲乙还需合作10天修完这条路例6：某种商品进价为200元，标价400元，由于该商品积压，商店
15、准备打折销售，但要保证利润率为，则该商店应打（）A9折B8折C7折D6折【答案】C【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用该商店应打x折，根据“保证利润率为”，列出方程，即可求解【详解】解：设该商店应打x折，根据题意得：，解得：，答：该商店应打7折故选：C变式6-1：某商店把一种商品按标价的九折出售，获得的利润是进价的，该商品的标价为每件288元，则该商品的进价为每件 元【答案】216【分析】设该商品的进价是x元，则实际售价为，从而列出方程即可求解【详解】解：设该商品的进价是x元，由题意得，解得，即该商品的进价是216元，故答案为：216【点睛】本题考查一元一次方程的应用，寻找等量关系，列出方
16、程是解题的关键变式6-2：芜湖市一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价为50元，售价80元(1)A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 (2)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？(3)在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于450元不优惠超过450元，但不超过600元按总售价打九折超过600元其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样
17、商品要付多少元？【答案】(1)40；(2)购进A种商品40件(3)580元或660元【分析】本题考查了一元一次方程的应用：（1）设A种商品每件进价为x元，根据A的利润率为，求出x的值；（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可；（3）分两种情况讨论，打折前购物金额超过450元，但不超过600元，打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解【详解】（1）解：设A种商品每件进价为x元，依题意得：，解得：故A种商品每件进价为40元；每件B种商品利润率为故答案为：40；（2）设购进A种商品x件，则购进B
18、种商品件，由题意得：，解得：答：购进A种商品40件，B种商品10件（3）设小华打折前应付款为y元，当打折前购物金额超过450元，但不超过600元时，由题意得：，解得：；当打折前购物金额超过600元时，解得：综上可得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元难点1：一元一次方程的新定义计算类似于运算符号“，”，新定义一种运算符号“”，观察下列运算：；(1)归纳：用代数式表示的结果为：_(2)若，求的值(3)若，请计算的值(4)比较与的大小，并说理由【答案】(1)(2)2(3)36(4)，理由见解析【分析】本题考查新定义运算，整式的加减运算，解一元一次方程，理解新定义的运算法则是解题的关键（
19、1）观察所给式子，找出规律即可求解；（2）根据新定义运算将所给方程转化为普通方程，再解方程即可；（3）根据得出，再利用新定义计算，最后将作为整体代入求值；（4）利用新定义计算两个代数式，再作差，判断结果与0的关系即可【详解】（1）解：由题意知，故答案为：；（2）解：若，则，整理，得，解得；（3）解：，；（4）解：，理由如下：，难点2：一元一次方程的新定义方程定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”(1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则_(2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值(3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，
20、求整数的值【答案】(1)(2)(3)的值为【分析】此题考查的是一元一次方程的应用（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；（2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案；（3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案【详解】（1）解：方程与方程互为“反对方程”，故答案为：4；（2）解：将写成的形式，将写成的形式，与方程互为“反对方程”，；（3）解：的“反对方程”为，由得，当，得，与的解均为整数，与都为整数，也为整数，当时，都为整数，当时，都为整数，的值为难点3：循环小数化为分数借助方程可将循环小数化成分数例如，在将化为分数时，可设由可知，所以所以解这个方程，得，即(1)将化为分
21、数，填写下面的空格：设，由可知，所以所以_解这个方程，得_(2)将化为分数【答案】(1)，(2)【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（1）根据题意，得到，解方程即可；（2）设，则，用列出方程进行求解即可读懂题意，找准等量关系，列出方程，是解题的关键【详解】（1）解：设，由可知，所以所以，解得：；故答案为：，；（2）设，则，即：化为分数为难点4：一元一次方程的数轴动点如图，是最小的正整数，且(1)填空：，；(2)在数轴上，所对应的点分别为，点为一动点，其对应的数为，点在之间（不含，两点）运动时，请化简式子：；(3)在（1）（2）的条件下，点，开始在数轴上运动，若点以每秒3个单位长度的速度向左运
22、动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从原点开始以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在之间（不含，两点）运动，请问：是否存在，使得的值不随着时间的变化而变化若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)1，16(2)(3)存在，的值为【分析】本题考查数轴及绝对值和偶次幂的非负性，涉及非负数的性质、绝对值、数轴、偶次方等知识，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键（1）根据绝对值和完全平方的非负性即可解决问题；（2）根据点在数轴上的位置，可得出点对应数的取值范围，进而可解决问题；（3）用含和的代数式表示出的值，即可解决问题【详解】（1）解：是最小的正整数
23、，又，则，解得，故答案为：1，16；（2）解：点在之间，且对应的数为，则，原式；（3）解：由题知，分两种情况讨论：当点向左运动时，秒后点对应的数可表示为；点对应的数可表示为；点对应的数可表示为；，的值不随着时间的变化而变化，解得；当点向右运动时，秒后点对应的数可表示为；点对应的数可表示为；点对应的数可表示为；，的值不随着时间的变化而变化，解得，不符合题意；综上所述，的值为难点5：一元一次方程的几何动点已知长方形中，动点P从A点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点Q也从点A出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动设运动时间为t秒(1)当点Q到达终点时，点P
24、在边 ；(2)当点P在边上运动时，用t表示的式子为 ；(3)点P、Q相遇时， 秒【答案】(1)(2)(3)7.2【分析】（1）由题意知，点Q从，运动时间为秒，点P从，运动时间为秒，由，可知当点Q到达终点时，P点运动路程为，由，可判断点P的位置；（2）由题意知，；（3）由题意知，计算求解即可本题考查了列代数式，一元一次方程的应用解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用【详解】（1）由题意知，点Q从，运动时间为秒，点P从，运动时间为秒，当点Q到达终点时，P点运动路程为，点P在边上，故答案为：；（2）由题意知，故答案为：；（3）由题意知，解得，故答案为：7.2真题感知1（2023江苏连云港统考中考真
25、题）元朝朱世杰所著的算学启蒙中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（）ABCD【答案】D【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得故选：D【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键2（2022江苏苏州统考中考真题）九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就九章算术
26、中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（）ABCD【答案】B【分析】根据题意，先令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，再根据题意设未知数，列方程即可【详解】解：令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，设走路快的人要
27、走x步才能追上，根据题意可得，根据题意可列出的方程是，故选：B【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键3（2020江苏盐城统考中考真题）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（）ABCD【答案】A【分析】根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解【详解】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y解得y=68+x+6=2+5+8解得x=1故选A【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，
28、解题的关键是根据题意得到方程求解4（2022江苏南通统考中考真题）九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为 【答案】5x+45=7x-3【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x的方程，此题得解【详解】解：依题意，得：5x+45=7x-3故答案为：5x+45=7x-3【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键5（2021江苏扬州统考中考真题）扬州雕
29、版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的算学启蒙一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马 天追上慢马【答案】20【分析】设良马行x日追上驽马，根据路程=速度时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论【详解】解：设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日，依题意，得：240x=150（x+12），解得：x=20，快马20天追上慢马，故答案为：20【点睛】本题考查
30、了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键6（2020江苏无锡统考中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 尺【答案】8【分析】先设绳长x尺，由题意列出方程，然后根据绳长即可求出井深【详解】解：设绳长x尺，由题意得x-4=x-1，解得x=36，井深：36-4=8（尺），故答案为：8【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键7（2019江苏南通统考中考真题）九章算术是中国传
31、统数学最重要的著作之一书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 【答案】【分析】根据“鸡的价钱=9人数11；鸡的价钱=6人数+16”即可列出方程.【详解】共有个人共同出钱买鸡，根据题意，则有9x-11=6x+16，故答案为9x-11=6x+16.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.8（2022江苏连云港统考中考真题）我国古代数学名著九章算术中有这样一个问题
32、：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格【答案】有7人，物品价格是53钱【分析】设人数为人，根据“物品价格=8人数-多余钱数=7人数+缺少的钱数”可得方程，求解方程即可【详解】解：设人数为人，由题意得，解得所以物品价格是答：有7人，物品价格是53钱【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系9（2019江苏镇江中
33、考真题）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动在相距个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种【观察】观察图，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _个单位长度；若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _个单位长度；【发现】
34、设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图所示） _；分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 _（直接写出结果）【答案】【观察】：；【发现】：；见解析；【拓展】：
35、0x12或48x72【分析】观察设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；发现当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列方程即可得到结论；设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结论；拓展由题意列不等式即可得到结论【详解】观察相遇地点与点之间的距离为个单位长度，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，设机器人甲的速度为，机器人乙的速度为，机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，机器人乙从相遇地点到点再返回到点所用时间为，而，设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时
36、，机器人乙从第一次相遇地点到点，返回到点，再返回向时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点为个单位，根据题意得，故答案为；相遇地点与点之间的距离为个单位长度，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，设机器人甲的速度为，机器人乙的速度为，机器人乙从相遇点到点再到点所用的时间为，机器人甲从相遇点到点所用时间为，而，设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点，再到点，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，设此时相遇点距点为个单位，根据题意得，故答案为；发现当点第二次相遇地点刚好在点时，设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，根据题意知，经检验：是分式方程的根，即：，故答案为；当时，点在线段上，线段的表达式为，当时，即当，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点返回向点时，设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，根据题意知，即：，补全图形如图2所示，拓展如图，由题意知，y=5x，0y60，0x12；如图，y=-5x+300，0y60，48x60，如图，由题意得，y=5x-300，0y60，60x72，0x75，48x72，综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0x12或48x72，故答案为0x12或48x72【点睛】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键
