1、专题02 最值问题探究知 识 回 放“二次函数”最值当a0，x=时二次函数有最小值，最小值；当a0，x=时二次函数有最大值，最大值“两定一动”型1. 形如PA+kPB，k=1时如图，两定点A、B在直线l（动点P所在直线）的同侧，PA+PB最小值为AB的长度；2. 形如PA+kPB，0k1时如图，定点A、B其中点B在直线l（动点P所在直线）上，PA+kPB最小值为AD的长度；其中，k=sinPBD两动两定型两定点A、B在河流两岸，AQ+PQ+BP的最小值，其中PQ垂直于河岸最小值为AB+PQ的长P、Q是AOB内部定点，R，S为角两边的动点，四边形PRSQ周长的最小值为PQ+PQ的长度一定两动型P
2、是AOB内部定点，R，Q为角两边的动点，三角形PQR周长的最小值为PP的长度与圆相关P为圆O外一点，A为圆O上一动点，PA的最小值为PA，最大值为PA真 题 解 析典例1. （2022四川泸州中考真题）如图，在中，半径为1的圆在内平移（圆可以与该三角形的边相切），则点到圆上的点的距离的最大值为_【答案】【解析】如图所示，当圆与AB、BC相切时，AM最长设切点分别为D、F，连接OB，圆的半径为1点到圆上的点的距离的最大值为典例2. （2022内蒙古鄂尔多斯中考真题）如图，在ABC中，ABAC4，CAB30，ADBC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC则PA+2PB的最小值为 _【答
3、案】4【解析】解：如图，在BAC的外部作CAE15，作BFAE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，AFB90ABAC，ADBC，CADBAD，EADCAE+CAD30，PF，PA+2PB22BF，在RtABF中，AB4，BAFBAC+CAE45，BFABsin454，（PA+2PB）最大2BF，故答案为：典例3. （2022辽宁锦州中考真题）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C(1)求抛物线的表达式；(2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：把点和代入得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：过点D作DHy轴，交A
4、C于点H，如图所示：设，直线AC的解析式为，由（1）可得：，解得：，直线AC的解析式为，DHy轴，当时，的值最大，典例4. （2022广西桂林中考真题）如图，抛物线yx2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)过点P作PMy轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标【答案】(1)A(1，0)，B(4，0)，C(0，4)；(2)6【解析】解：（1）在yx2+3x+4中，令x0得y4，令y0
5、得x1或x4，A（1，0），B（4，0），C（0，4）（2）将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：，四边形是平行四边形，B，Q，共线，此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值，C（0，4），B（4，0），5，CP+PQ+BQ最小值为6典例5. （2022广西贺州中考真题）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为_【答案】【解析】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FKCD于点K，在矩形ABCD中，A=ADC=90，AD=BC=6，CD=AB=8，DEH为等腰直
6、角三角形，DG平分ADC，DG垂直平分EH，PE=PH，的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EFFH+EF，当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，E，F分别是AD，AB的中点，AE=DE=DH=3，AF=4，EF=5，FKCD，DKF=A=ADC=90，四边形ADKF为矩形，DK=AF=4，FK=AD=6，HK=1，FH+EF=，即的周长最小为故答案为：典例6. （2022黑龙江大庆中考真题）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周
7、长的最小值；若不存在，请说明理由【答案】(1) ；(2) 【解析】（1）解：把代入，得，解得，所以反比例函数解析式是；（2）存在点P使ABP周长最小，理由：解和得，和，和，作点B关于y轴的对称点B，连接A B，交y轴于点P，当点A、P、B在一条直线上时，线段AB 的长度最短，所以存在点P使ABP周长最小，ABP的周长= ，真 题 演 练1. （2022江苏徐州中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，点关于直线的对称点为点(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接、，若四边形为正方形求、的值；若点在轴上，当最大时，求点的坐标【答案
8、】(1)理由见解析；(2)k=1，b=2；点P的坐标为(0,-2)【解析】解：（1）点E在这个反比例函数的图像上理由如下：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A，设点A的坐标为，点C关于直线AD的对称点为点E，AD平分CE，连接CE交AD于H，如图所示：，轴于D，轴，在Rt中，为边AD上的中线，即AH=DH，点在这个反比例函数的图像上；（2）四边形ACDE为正方形，垂直平分，设点的坐标为，（负值舍去），把，代入得，；延长交轴于，如图所示：，点与点关于轴对称，则点即为符合条件的点，由知，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，当时，即，故当最大时，点的坐标为2. （2022浙江舟山中考真题）已
9、知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（）AB2CD1【答案】B【解析】解：把代入得：的最大值为9，且当时，有最大值，此时解得直线解析式为把代入得故选：B3.（2022山东滨州中考真题）如图，在矩形中，若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为_【答案】【解析】过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE，四边形ANEF是平行四边形，当N、E、C三点共线时，最小，四边形ABCD是矩形，四边形EFMD是平行四边形，即，由勾股定理得，的最小值为，故答案为：4. （2022宁夏中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别
10、相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点，：(1)求反比例函数的表达式；(2)点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接当面积最大时，求点的坐标【答案】(1)；(2)【解析】解：（1）如图，过点A作轴于点F， ，又， 点在反比例函数的图象上，反比例函数的表达式为：（2）由题意可知，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，直线的解析式为：设点的横坐标为，则，的面积为： ，时，面积取最大值，最大值为，将代入，得点D的坐标为5. （2022湖南湘西州中考真题）如图，在RtABC中，A90，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CGAB，交HM的延长线于点G，若AC8，AB6，则
11、四边形ACGH周长的最小值是（）A24B22C20D18【答案】B【解析】解：CGAB，BMCG，M是BC的中点，BMCM，在BMH和CMG中，BMHCMG（ASA），HMGM，BHCG，AB6，AC8，四边形ACGH的周长AC+CG+AH+GHAB+AC+GH14+GH，当GH最小时，即MHAB时四边形ACGH的周长有最小值，A90，MHAB，GHAC，四边形ACGH为矩形，GH8，四边形ACGH的周长最小值为14+822，故选：B6.（2022湖南娄底中考真题）菱形的边长为2，点、分别是、上的动点，的最小值为_【答案】【解析】解：如图，过点C作CEAB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路
12、线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，菱形的边长为2，中，PQ+QC的最小值为故答案为：7.（2022黑龙江龙东中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是_【答案】【解析】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，菱形ABCD，ACBD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，BAD=60，ABD是等边三角形，BD=AB=3，BAO=30，OB=，OA=，
13、点O关于AB的对称点F，OFAB，OG=FG，OF=2OG=OA=，AOG=60，CEAH于E，OA=OC，OE=OC=OA=，AEC=CAE，AH平分BAC，CAE=15，AEO=CAE=15，COE=AEO+CAE=30，COE+AOG=30+60=90，FOE=90，由勾股定理，得EF=故答案为：8.（2022辽宁阜新中考真题）如图，已知二次函数的图像交轴于点，交轴于点(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发设运动时间为秒（）当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？【答案】(
14、1)；(2)当时，的面积最大，最大面积是【解析】解：（1）将点，代入中，得，解这个方程组得，二次函数的表达式为；（2）过点作轴于点，如图： 设面积为S，根据题意得：，在中，令得，当时，的面积最大，最大面积是9. （2022广西梧州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90得到，点A的对应点是点E写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标【答案】(1) ；(2)点E在抛物线上；P（0，）【解析】（1）解：当x=0时，y=-4，当y=0时，x=-3，A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入抛物线，得，抛物线解析式为（2）解：A（-3，0），C（0，6），AO=3，CO=6，由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，FCO=90E到x轴的距离为6-3=3，点E的坐标为（6，3），当x=3时，点E在抛物线上；过点E作EHAB，交y轴于P，垂足为H，A（3，0），B（0，4），OA3，OB4，AB5，HPPE的最小值为EH的长，作EGy轴于G，GEPABO，tanGEPtanABO，OP3，P（0，）
