1、中点模型巩固练习（提优）1.如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且ACCE，F为AE的中点，求证：BFFD.【解答】见解析【解析】如图，连接CF.ACCE，F为AE的中点，CFAE，AFDDFC90，四边形ABCD是矩形，BCAD，ABCE，ABCBAD90，在RtABE中，F为AE的中点，BFAF，FBAFAB，FABBADFBAABC，即FBCFAD，又ADBC，FAFB，FBCFAD，AFDBFC，BFDBFCDFCAFDDFC90，BFFD.2.如图，在梯形ABCD中，BC90，EF是两底中点的连线，求证：BCAD2EF.【解答】见解析【解析】如图，过点E作EMAB交BC于点M，
2、ENDC交NC于点N.四边形ABCD是梯形，ADBC，四边形ABME和四边形DCNE为平行四边形，BMAE，CNDE，E、F分别为AD、BC的中点，AEED，BFCF，FMFN，EMAB，ENDC，EMNB，ENMC，又BC90，EMNENM90，即MEN90，EFMN，EFBC（BMNC）（BCAD），即BCAD2EF.3.如图，在ABC中，BAC90，ABAC，ADCD，AFBD于点E交BC于点F，求证：BF2FC.【解答】见解析【解析】如图，过点C作CNBD交BD的延长线于点N.AEBD，AEDN，ADCD，ADECDN，ADECDN（AAS），DEDN，AFBD，CNBD，AFCN，B
3、AC90，AEBD，ABEDBA，即，同理可证，ABAC2AD，又DNDE，BF2FC.4.如图，在四边形ABCD中，E为AB上的一点，ADE和BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN的形状.【解答】四边形PQMN为菱形【解析】如图，连接AC、BD.ADE和BCE都是等边三角形，AEC120，BED120，AECBED，又EAED，ECEB，AECDEB，ACBD，又P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，PNBD，QMBD，PNQM，四边形PQMN是平行四边形，又PNBD，MNAC，MNPN，四边形PQMN是菱形.5.如图，P是圆
4、O外的一点，过P点引两条割线PAB、PCD，点M、N分别是、的中点，连接MN分别交AB、CD于点E、F.（1）求证：PEF是等腰三角形；（2）若点P在圆上或圆内，其他条件不变，结论还能成立吗？【解答】（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析【解析】（1）如图，证明：连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H.点M、N分别是、的中点，OMAB，ONCD，即MGENHF90，又OMON，MN，MEGNFH，MEGPEF，NFHPFE，PEFPFE，PEPF，即PEF是等腰三角形；（2）如图1，当点P在圆上时，连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H.OMON，OMNONM，又点M、N分别是、
5、的中点，MGENHF90，MEGNFH，MEGPEF，NFHPFE，PEFPFE，PEPF，即PEF是等腰三角形；如图2，当点P在圆内时，连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H.OMON，OMNONM，又点M、N分别是、的中点，MGENHF90，MEGNFH，MEGPEF，NFHPFE，PEFPFE，PEPF，即PEF是等腰三角形；6.半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB折叠，使折叠后半圆弧的中点M与圆心O重合，求图中阴影部分面积？【解答】【解析】如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB.由题意可得OMAB，且OCMC，在RtAOC中，OA1，OC，AOC60，AB2AC，AOB2AO
6、C120，则，.7如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABC60，AC平分DAB，E、F分别为对角线AC、DB的中点，且EF4求这个梯形的面积【解答】483【解析】四边形ABCD是等腰梯形，DABABC60，DCAB，DCACAB，AC平分DAB，DACCAB=12DAB30，DCADAC，ACB90，ADDCBC，AB2BC2CD，设CDa，则AB2a，连接DE，并延长DE交AB于M，在DEC和MEA中DCE=MAECE=AEDEC=MEA，DECMEA（ASA），DCAMa，DEEM，DFBF，EF=12BM=12（ABAM），EF4，4=12（2aa），a8，即BCADDC8，AB16
7、，过C作CNAB于N，BC8，ABC60，BCN30，BN=12BC4，由勾股定理得：CN43，梯形的面积=12（DC+AB）CN=12（8+16）43=4838如图，在RtABC中，A90，D为斜边BC中点，DEDF，求证：EF2BE2+CF2【解答】见解析【解析】证明：延长ED到G，使DGDE，连接EF、FG、CG，如图所示：在EDF和GDF中DF=DFEDF=FDG=90DG=DE，EDFGDF（SAS），EFFG又D为斜边BC中点BDDC在BDE和CDG中，BD=DCBDE=CDGDE=DG，BDECDG（SAS）BECG，BBCGABCGGCA180A1809090在RtFCG中，由
8、勾股定理得：FG2CF2+CG2CF2+BE2EF2FG2BE2+CF29半径为2.5的O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P已知BC：CA4：3，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到AB的中点时，求CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长【解答】（1）325；（2）1423；（3）当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为203【解析】（1）当点P与点C关于AB对称时，CPAB，设垂足为DAB为O的直径，ACB90AB5，又BC：CA4：3，BC4，AC3又12ACBC
9、=12ABCDCD=125，PC=245在RtACB和RtPCQ中，ACBPCQ90，CABCPQ，RtACBRtPCQACBC=PCCQ，CQ=BCPCAC=43PC=325（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BEPC于点E（如图）P是弧AB的中点，PCB45，CEBE=22BC22又CPBCABtanCPBtanCAB=43PE=BEtanCPB=34BE=322，PC=722而从（1）中得，CQ=43PC=1423（3）点P在弧AB上运动时，恒有CQ=BCPCAC=43PC；故PC最大时，CQ取到最大值当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为20310如图已知ABCD中，E
10、为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F（1）CD与FA相等吗？为什么？（2）若使FBCF，ABCD的边长之间还需要再添加一个什么条件？请你补上这个条件并说明理由【解答】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）CDFA理由：四边形ABCD是平行四边形，CDAB，DEAF，E为AD的中点，即DEAE，在CDE和FAE中，D=EAFDE=AECED=FEA，CDEFAE（ASA），CDFA（2）要使FBCF，需平行四边形ABCD的边长之间是2倍的关系，即BC2AB，理由：四边形ABCD是平行四边形，CDAB，CDAF，ABAF，BFAB+AF2AB，BC2AB，BCBF，FBCF11如图，在直角ABC中，D为斜边AB的中点，DEDF，而E、F分别在AC和BC上，连结EF观察AE、EF、BF能不能组成直角三角形写出你的结论并说明理由【解答】能组成直角三角形，斜边为EF【解析】如图，延长FD到F，使DFDF，连接AF、EF，D为斜边AB的中点，ADBD，在ADF和BDF中，AD=BDADF=BDFDF=DF，ADFBDF（SAS），AFBF，BDAF，BAC+B90，BAC+DAFBAC+B90，即EAF90，又DEDF，EFEF，EAF是以EF为斜边的直角三角形，故AE、EF、BF能组成直角三角形，斜边为EF
