1、专题01 相交线与平行线压轴题必练1如图，已知直线l1l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在AB上（1）试找出1、2、3之间的关系并说出理由；（2）如果点P在A、B两点之间运动时，问1、2、3之间的关系是否发生变化？（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究1、2、3之间的关系（点P和A、B不重合）2如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，1与2互补（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，BEF与EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GHEG，求证：PFGH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点
2、使PHKHPK，作PQ平分EPK，问HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由3已知，直线ABCD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC（1）如图，若A20，C40，则AEC （2）如图，若Ax，Cy，则AEC （3）如图，若A，C，则，与AEC之间有何等量关系并简要说明4已知，BCOA，BA100，试回答下列问题：（1）如图1所示，求证：OBAC；（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足FOCAOC，并且OE平分BOF试求EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么OCB：OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（4）
3、附加题：在（3）的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使OEBOCA，此时OCA度数等于 （在横线上填上答案即可）5如图，已知直线l1l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合记AEP1，PFB2，EPF3（1）若点P在图（1）位置时，求证：31+2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出1、2、3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出1、2、3之间的关系并给予证明6如图，已知AMBN，A60点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分ABP和PBN，分别交射线AM于点C，D（1）求CBD的度数；（2）当点P运
4、动时，APB与ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律（3）当点P运动到使ACBABD时，ABC的度数是 7如图，直线CD与EF相交于点O，COE60，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分COE（1）求BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0t40）当t为何值时，直线EF平分AOB；若直线EF平分BOD，直接写出t的值8如图，已知ABCD，点E在直线AB，CD之间（1）求证：AECBAE+ECD；（2）若AH平分BAE，将线段C
5、E沿CD平移至FG如图2，若AEC90，HF平分DFG，求AHF的度数；如图3，若HF平分CFG，试判断AHF与AEC的数量关系并说明理由9当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图、图中，都有12，34设镜子AB与BC的夹角ABC（1）如图，若90，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由（2）如图，若90180，入射光线EF与反射光线GH的夹角FMH探索与的数量关系，并说明理由（3）如图，若120，设镜子CD与BC的夹角BCD（90180），入射光线EF与镜面AB的夹角1m（0m90），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n3
6、）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出的度数（可用含有m的代数式表示）专题01 相交线与平行线压轴题必练1如图，已知直线l1l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在AB上（1）试找出1、2、3之间的关系并说出理由；（2）如果点P在A、B两点之间运动时，问1、2、3之间的关系是否发生变化？（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究1、2、3之间的关系（点P和A、B不重合）【答案】（1）1+23 （2）1+23； （3）123或213【解答】解：（1）1+23；理由：过点P作l1的平行线，l1l2，l1l2PQ，14，25，（两直线平行，内错角相等）4+53，1+2
7、3；（2）同（1）可证：1+23；（3）123或213理由：当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ，l1l2，l1l2PQ，24，13+4，（两直线平行，内错角相等）123；当点P在上侧时，同理可得：2132如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，1与2互补（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，BEF与EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GHEG，求证：PFGH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使PHKHPK，作PQ平分EPK，问HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由【答案】
8、（1） ABCD（2）略 （3）45【解答】解：（1）如图1，1与2互补，1+2180又1AEF，2CFE，AEF+CFE180，ABCD；（2）如图2，由（1）知，ABCD，BEF+EFD180又BEF与EFD的角平分线交于点P，FEP+EFP（BEF+EFD）90，EPF90，即EGPFGHEG，PFGH；（3）HPQ的大小不会发生变化，理由如下：PHKHPKPKG2HPKGHEGKPG90PKG902HPKEPK180KPG90+2HPKPQ平分EPKQPKEPK45+HPKHPQQPKHPK45HPQ的大小不会发生变化，其值为453已知，直线ABCD，E为AB、CD间的一点，连接EA、
9、EC（1）如图，若A20，C40，则AEC （2）如图，若Ax，Cy，则AEC （3）如图，若A，C，则，与AEC之间有何等量关系并简要说明【答案】（1）60 （2）（360xy） （3）AEC180+【解答】解：如图，过点E作EFAB，ABCD，ABCDEF（1）A20，C40，1A20，2C40，AEC1+260；（2）1+A180，2+C180，Ax，Cy，1+2+x+y360，AEC（360xy）；（3）A，C，1+A180，2C，1180A180，AEC1+2180+4已知，BCOA，BA100，试回答下列问题：（1）如图1所示，求证：OBAC；（2）如图2，若点E、F在BC上，且满
10、足FOCAOC，并且OE平分BOF试求EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么OCB：OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（4）附加题：在（3）的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使OEBOCA，此时OCA度数等于 （在横线上填上答案即可）【答案】（1）OBAC （2）40 （3）OCB：OFB1：2 （4）60【解答】解：（1）BCOA，B+O180；AB，A+O180，OBAC（3分）（2）AB100，由（1）得BOA180B80；FOCAOC，并且OE平分BOF，EOFBOFFOCFOA，EOCEOF+FOC（BOF+FOA）
11、BOA40（3分）（3）结论：OCB：OFB的值不发生变化理由为：BCOA，FCOCOA，又FOCAOC，FOCFCO，OFBFOC+FCO2OCB，OCB：OFB1：2（4分）（4）由（1）知：OBAC，OCABOC，由（2）可以设：BOEEOF，FOCCOA，OCABOC2+OEBEOC+ECO+2OEBOCA2+2AOB80，20OCA2+40+2060故答案是：60（3分）5如图，已知直线l1l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合记AEP1，PFB2，EPF3（1）若点P在图（1）位置时，求证：31+2；（2）若点P在图（
12、2）位置时，请直接写出1、2、3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出1、2、3之间的关系并给予证明【答案】（1）31+2 （2）321 （3）336012【解答】证明：（1）过P作PQl1，l1l2，PQl1l2，由两直线平行，内错角相等，可得：1QPE、2QPF；3QPE+QPF，31+2（2）关系：321；过P作直线PQl1，l1l2，PQl1l2，则：1QPE、2QPF；3QPFQPE，321（3）关系：336012过P作PQl1，l1l2，PQl1l2，同（1）可证得：3CEP+DFP；CEP+1180，DFP+2180，CEP+DFP+1+2360，即3360126如图，已
13、知AMBN，A60点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分ABP和PBN，分别交射线AM于点C，D（1）求CBD的度数；（2）当点P运动时，APB与ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律（3）当点P运动到使ACBABD时，ABC的度数是 【答案】（1）60 （2） 不变化，APB2ADB（3）30【解答】解：（1）AMBN，A+ABN180，A60，ABN120，BC、BD分别平分ABP和PBN，CBPABP，DBPNBP，CBDABN60；（2）不变化，APB2ADB证明：AMBN，APBPBN，ADBDBN
14、，又BD平分PBN，PBN2DBN，APB2ADB；（3）ADBN，ACBCBN，又ACBABD，CBNABD，ABCDBN，由（1）可得，CBD60，ABN120，ABC（12060）30，故答案为：307如图，直线CD与EF相交于点O，COE60，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分COE（1）求BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0t40）当t为何值时，直线EF平分AOB；若直线EF平分BOD，直接写出t的值【答案】（1） 60（2）t的值为12s或36s【解答】解：（1）COE60
15、，OA平分COE，AOC30，又AOB90，BOD180309060；（2）分两种情况：当OE平分AOB时，AOE45，即9t+303t45，解得t2.5；当OF平分AOB时，AOF45，即9t1503t45，解得t32.5；综上所述，当t2.5s或32.5s时，直线EF平分AOB；t的值为12s或36s分两种情况：当OE平分BOD时，BOEBOD，即9t603t（603t），解得t12；当OF平分BOD时，DOFBOD，即9t300（3t60），解得t36；综上所述，若直线EF平分BOD，t的值为12s或36s8如图，已知ABCD，点E在直线AB，CD之间（1）求证：AECBAE+ECD；（
16、2）若AH平分BAE，将线段CE沿CD平移至FG如图2，若AEC90，HF平分DFG，求AHF的度数；如图3，若HF平分CFG，试判断AHF与AEC的数量关系并说明理由【答案】（1） 略 （2）45AHF90+AEC【解答】解：（1）如图1，过点E作直线ENAB，ABCD，ENCD，BAEAEN，DCECEN，AECAEN+CENBAH+ECD；（2）AH平分BAE，BAHEAH，HF平分DFG，设GFHDFHx，又CEFG，ECDGFD2x，又AECBAE+ECD，AEC90，BAHEAH45x，如图2，过点H作lAB，易证AHFBAH+DFH45x+x45；设GFD2x，BAHEAHy，H
17、F平分CFG，GFHCFH90x，由（1）知AECBAE+ECD2x+2y，如图3，过点H作lAB，易证AHFy+CFH180，即AHFy+90x180，AHF90+（x+y），AHF90+AEC（或2AHFAEC180）9当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图、图中，都有12，34设镜子AB与BC的夹角ABC（1）如图，若90，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由（2）如图，若90180，入射光线EF与反射光线GH的夹角FMH探索与的数量关系，并说明理由（3）如图，若120，设镜子CD与BC的夹角BCD（90180），入射光线EF与镜面AB的
18、夹角1m（0m90），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出的度数（可用含有m的代数式表示）【答案】（1）EFGH， （2）2180 （3）90+m或150【解答】解：（1）EFGH，理由如下：在BEG中，2+3+180，90，2+390，12，34，1+2+3+4180，1+2+FEG180，3+4+EGH180，FEG+EGH180，EFGH；（2）2180，理由如下：在BEG中，2+3+180，2+3180，12，1MEB，2MEB，MEG22，同理可得，MGE23，在MEG中，MEG+MGE+180，180（MEG+MGE）180（22+23）1802（2+3）1802（180）2180；（3）90+m或150理由如下：当n3时，如下图所示：BEG1m，BGECGH60m，FEG180211802m，EGH1802BGE1802（60m），EFHK，FEG+EGH+GHK360，则GHK120，则GHC30，由GCH内角和，得90+m当n2时，如果在BC边反射后与EF平行，则90，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，如下图所示：根据三角形外角定义，得G60，由EFHK，且由（1）的结论可得，G6090，则150综上所述：的度数为：90+m或150
