1、曲靖市第二中学2020届高三第一次模拟考试数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1.设（为虚数单位），则( )A. B. C. D. 22.已知集合，集合，则( )A. B. C. D.3.已知平面l，m是内不同于l的直线，下列命题错误的是( )A.若m，则ml B.若ml，则mC.若ml，则m D.若m，则ml4.已知数列的前项和为，且，若平面内的三个不共线的非零向量满足，三点共线且该直线不过点，则等于( ) A.1005 B.1006 C.20
2、10 D.20125.如图所示的程序框图,令y=,若1,则a的取值范围是( )A.(-,2)(2,5 B.(-,-1)(1,+)C.(-,2)(2,+) D.(-,-1)(1,56.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知某班学生的数学成绩（单位：分）与物理成绩（单位：分）具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：，设其线性回归方程为：0.4x .若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为( )A.66 B.68 C.70 D.728.等比数列的前项和为，若则
3、( )A.-22 B.-14 C.10 D.189.函数，的图像大致是()10.已知直线与圆交于两点.是坐标原点，满足条件 ，则实数的值为( )A. B. C. D.11.已知是双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为.若双曲线的右支上存在点，满足，且，则双曲线的离心率=( )A. B. C. D.12.定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为( ) A. B. C. D.第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13.已知展开式所有项的系数之和为，则展开式中的系数为_.14.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_.15.某班从6名班干部(其中男
4、生4人，女生2人)中选出3人代表本班参加“学生对教师满意程度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是_.16.如图，平面四边形中，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为_.三、 解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）(一)必考题：共60分.17.（本题满分12分）已知向量(1)求的单调递增区间；(2)在中，角的对边分别为.若，求的周长.18.（本题满分12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节
5、前夕，某市质检部门随机抽取了100包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示.(1)求所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数.(2)由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，经计算得，求Z落在内的概率.(3)将频率视为概率，若某人买了3包该品牌水饺，记这3包水饺中质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望.附：若，则：P()0.682 6，P(33)0.997 4.19.（本题满分12分）如图，直三棱柱中，是上一点，且平面.(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在一点，使平面与平面的夹角等于？若存在，确定点的位置；若不存在，说
6、明理由.20.（本题满分12分）已知是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与(1)中曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程.21.(本题满分12分)已知函数(1)求函数的单调区间；(2)令的两个零点为证明：请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修44：坐标系与参数方程】（本题满分10分）在直角坐标系中，已知圆 (为参数)，点在直线 上，以坐标
7、原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(1)求圆和直线的极坐标方程；(2)射线交圆于点，点在射线上，且满足，求点轨迹的极坐标方程23.【选修45：不等式选讲】（本题满分10分）已知函数(1)若不等式有解，求实数的最大值；(2)在(1)的条件下，若正实数满足，证明：曲靖市第二中学2020届高三第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BCCADBBADCDA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. -80 14. (-4,2) 15. 16. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17.（本题
8、满分12分）解：(1). .2分 由 得: 的单调递增区间是 .6分 ，.又，. .8分 ，由正弦定理得：,又. 在中，由余弦定理得：,的周长为 .12分18.（本题满分12分） 解：(1)所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数为： . .3分 (2) 服从正态分布，且，Z落在内的概率为0.6826. .6分(3)根据题意得：，； ； .10分 0123的分布列为：=. .12分19.（本题满分12分）解：(1)是直三棱柱，平面，且平面，所以.，平面，平面，平面. .4分(2)平面，且平面，以O为坐标原点,所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系. .5分是等腰直角三角形，且
9、斜边，则：A(,0,0),B(0,0,0),C(0,0),设满足条件的点E(0,0,). .6分由（1）知平面的法向量为=(0,0). .7分设=(a,b,c)为平面AEC的一个法向量,则由，令,则得，=, .9分平面与平面的夹角等于，解得： .11分当点为棱的中点时，平面与平面的夹角等于. .12分20.（本题满分12分）解：(1)由线段的垂直平分线与半径交于点，得：， .2分点的轨迹为以焦点，长轴长为的椭圆， 故 ， ， . 曲线的方程为 .5分(2) 设直线的方程为与椭圆交于点，联立直线与椭圆的方程消去可得：，即，. .7分面积为:令，则，上式可化为， .10分当且仅当，即时等号成立，因
10、此面积的最大值为，此时直线的方程为. .12分21.（本题满分12分）解：(1)由题可知，在（0，+）上单调递增，且，当时，当时，；因此在上单调递减，在上单调递增. .4分(2)有两个零点，定义域为且，在上单调递增，且，当时，当时，；即的最小值为， .7分当时，可知在上存在一个零点. .9分又当时，可知在上也存在一个零点.又 .11分因此，即 .12分22.（本题满分10分）解：（1）圆的极坐标方程， 3分直线的极坐标方程. 5分 (2)设的极坐标分别为， 6分 又，即 9分 ， 10分23.（本题满分10分）解:(1)若不等式有解，只需的最大值，解得，实数的最大值 5分(2)根据(1)知正实数，满足，由柯西不等式可知，.，均为正实数，(当且仅当时取“=”) 10分
