1、专题01 勾股定理（五大类型）【题型1已知直角的两边长，求第三边长】【题型2 直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】【题型3 等面积法求直角三角形斜边上的高】【题型4 作无理数的线段】【题型5 勾股定理的证明】【题型1已知直角的两边长，求第三边长】1（2023春禅城区期末）如图，在RtABC中，C90，B30，AC2，则AB边的长度是（）A3B4CD2（2023春张北县校级期中）已知在RtABC中，A90且AB3，BC4，则AC（）A5BC5或D5或3（2023春黄冈月考）直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（）A13BC13或D74（2022秋溧水区期末）如图，在ABC中，ABA
2、C10，AD是角平分线，AD6，则BC的长度为（）A6B8C12D165（2022秋晋江市期末）我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（）A21B15C13D126（2022秋内江期末）如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（）A24B30C48D187（2023金水区开学）图1是第七届国际数学教育大会（ICME7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，OA1A1A2A2A3An1An1，则OA21的长为（）A22BC21D【题型2 直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】8（2022秋榆树市期末
3、）如图所示，在ABC中，ACB90，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（）A25B175C600D6259（2022秋沈丘县期末）如图，以RtABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S350，则S1的值为（）A10B15C20D2510（2023春大荔县期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O若AD2，BC5，则AB2+CD211（2023春和平区校级期中）如图，在ABC中，B90，AB2，BC4，四边形ADEC是正方形，则正方
4、形ADEC的面积是（）A8B16C18D2012（2023春市北区期中）如图，ACB90，将RtABC沿着射线BC方向平移5cm，得到ABC，已知BC3cm，AC4cm，则阴影部分的面积为（）A14cm2B16cm2C18cm2D20cm213（2022秋两江新区期末）如图，在ABC中，A90，DEBC，AB3，BC5，BD是ABC的角平分线，则CDE的周长是（）A6B7C8D914（2023春铜仁市期末）如图，若四个完全相同的小直角三角形按如图方式全部放置在大直角三角形ABC的内部，这四个小三角形的斜边刚好相接在斜边BC上，AB+AC7，BC5，则这四个小直角三角形的周长之和为 15（202
5、3春德州期中）如图，在RtABC中，ACB90，AB10，分别以AC，BC为底边向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 16（2023春微山县期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为5，7，20，则正方形B的面积是 17（2023春昆明期中）如图，在四边形ABCD中，已知B90，ACB30，AB3，AD10，CD8求四边形ABCD的面积18（2023春朝阳区校级期中）在四边形ABCD中，DCB135，BD90，BC1，求四边形ABCD的面积19（2022秋苏州期末）计算图中四边形ABCD的
6、面积20（2022秋张店区校级期末）在ABC中，C90，AC3，CB4，CD是斜边AB上高（1）求ABC的面积；（2）求斜边AB；（3）求高CD21（2022秋南宫市期末）如图，在ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，ADBC，且BDDE，连接AE（1）若BAE44，求C的度数（2）若AC7cm，DC5cm，求ABC的周长【题型3 等面积法求直角三角形斜边上的高】22（2023春西城区校级期中）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为（）ABC6D1323（2022秋莲池区校级期末）如图，在ABC中，ACB90，CDAB，垂足为D若AC3，BC4，则CD的长为
7、（）A2.4B2.5C4.8D524（2023春代县月考）在ABC中，AB15，AC13，BC边上的高AD12，则边BC的长为（）A4B14C4或14D8或1425（2022秋榕城区期末）如图是边长为1的33的正方形网格，已知ABC的三个顶点均在正方形格点上，则BC边上的高是（）ABC2D26（2023春长沙期中）如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，CD为AB边上的高（1）求斜边AB的长；（2）求CD的长27（2023春靖西市期中）如图，在RtABC中，两直角边AC8，BC6（1）求AB的长；（2）求斜边上的高CD的长28（2022秋南京期末）如图，在ABC中，ADBC，交BC于
8、点D，AB17，AC10（1）若CD6，则AD，BD ；（2）若BC20，求CD的长29（2023春福山区期中）如图，RtABC中，C90，AC，BC，求：（1）RtABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）求AB边上的高CD的长【题型4 作无理数的线段】30如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取AEAC，则点E所表示的数为（）A1B1C1D31如图所示，数轴上点A所表示的数为 35如图所示，点C表示的数是 32如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，BABC，写出数轴上点A所表示的数是 33如图，OAOB，OC3，BC1，数轴上点A表
9、示的数是 34如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）【题型5 勾股定理的证明】35（2023春渝北区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）ABCD36（2021秋海州区期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC12，BC7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A148B100C196D14437（2022春河东区期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三
10、角形和中间的小正方形拼成的大正方形如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A10+B10+C10+D2438（2023春朝阳区校级期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（ab），直角三角形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则用含S1，S2的代数式表示a2+b2正确的是（）A4S1+S21B4S1S2C4S1D4S1+S239（2023攀枝花二模）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上利用此图的面积表示式证明勾股定理40（2022秋溧水区
11、期末）如图，在ABD中，ACBD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DEAB，CAD45（1）求证：DFAB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在ABC中，ACB90，BCa，ACb，ABc，求证：a2+b2c241（2022秋城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（ab），斜边长为c（1）结合图，求证：a2+b2c2；（2）如图，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH若该图形的周长为48，OH6求该图形
12、的面积42.方图”以验证勾股定理，后世也称“赵爽弦图”实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题：（1）如图，正方形ABCD的面积为 ，正方形IJKL的面积为 ；（用含a，b的式子表示）（2）根据图中正方形ABCD的面积及正方形IJKL的面积的关系，可得（a+b）2，ab，（ab）2的等量关系为 ；（3）请通过运算证明上述等量关系；（4）记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形IJKL的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S330，直角三角形AEH的面积为，则求（ab）2的值43（2022秋邗江区期末）勾股定理是人
13、类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今（1）勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积（2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2S3的有 个；（3）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系
