1、专项四 立体几何考点2 利用空间向量求空间角大题 拆解技巧【母题】(2021年新高考全国卷)在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=5,QC=3.(1)证明:平面QAD平面ABCD.(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.【拆解1】在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=5,QC=3.证明:平面QAD平面ABCD.【拆解2】已知条件不变,求平面QBD的法向量.【拆解3】已知条件不变,求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.小做 变式训练如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,四边形ABCD是正方形,AB=2PA=4,点E在棱
2、PA上,PC平面BDE.(1)求证:E为PA的中点.(2)记二面角E-BD-P的平面角为,求cos 的值.【拆解1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,四边形ABCD是正方形,AB=2PA=4,点E在棱PA上,PC平面BDE.求证:E为PA的中点.【拆解2】本例条件不变,建立适当的空间直角坐标系,求平面BDE的一个法向量.【拆解3】本例条件不变,求平面BDP的一个法向量.【拆解4】本例条件不变,记二面角E-BD-P的平面角为,求cos 的值.通法 技巧归纳利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得
3、到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.突破 实战训练1.如图,AB是圆柱底面圆O的直径,点C,F是AB的两个三等分点,CD,BE为圆柱的母线.(1)求证:EF平面OCD.(2)设AC=12CD=2,M为OE的中点,求二面角D-AC-M的余弦值.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA平面ABCD,PA=AB=2,PD的中点为F.(1)求证:PB平面ACF.(2)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答.ABC为锐角
4、,且四棱锥P-ABCD的体积为433,FC与平面ABCD所成的角为6,BD=23.若 ,求二面角F-AC-D的余弦值.3.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,平面PAB平面ABCD,PAAB,G为PAB的重心.(1)若CE=CB,且GE平面PCD,求的值;(2)若平面PCD与平面PAB所成的锐二面角为30,求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值.4.在滨海文化中心有天津滨海科技馆,其建筑有鲜明的后工业风格,如图所示,截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合,如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=AA1=2,圆台下底圆圆心O为AB的中点,直径为2,圆与直线AB交于
5、点E,F,圆台上底圆圆心O1在A1B1上,直径为1.(1)求A1C与平面A1ED所成的角的正弦值.(2)求二面角E-A1D-F的余弦值.(3)圆台上底圆周上是否存在一点P使得FPAC1?若存在,求点P到直线A1B1的距离;若不存在,则说明理由.5.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,ABC=3,DD1平面ABCD,B1BD=6,BB1=AB=2A1B1=2.(1)求证:直线AC平面BDB1.(2)求直线A1B1与平面ACC1所成的角的正弦值.6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2BC=2,B1BC=60,ACB=90,B1CAB.(1)求证:B1C平面ABC.(2)若AB=2BC,求二面角B1-AA1-C的正弦值.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,BAD=60,Q为AD的中点.(1)若PA=PD,求证:ADPB.(2)若平面PAD平面ABCD,且PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,试确定点M的位置,使二面角M-BQ-C的大小为30,并求出PMPC的值.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA平面ABCD,E为AD的中点,AC交BE于点F,G为PCD的重心.(1)求证:FG平面PAD.(2)若PA=AD,点H在线段PD上,且PH=2HD,求二面角H-FG-C的余弦值.
