1、第五节直线、平面垂直的判定及其性质基础达标一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2015衢州质检)已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若,m,则mB.若m,n,且mn,则C.若m,则mD.若m,n,且mn,则1.D【解析】若,m,则m,平行、相交或者m,A错误;若m,n,mn,则,平行或相交,B错误;若m,则m或m,C错误;由面面垂直的判定定理可知D正确.2.已知两个平面垂直,下列命题:一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线.一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.过一个平面内
2、任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是()A.3B.2C.1D.02.B【解析】由面面垂直的性质可知正确,错误,所以正确的个数是2.3.(2015银川质检)若,是两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.B【解析】若,m,则m与平行、相交或m都有可能,所以充分性不成立;若m,m,则,必要性成立.4.(2015济南模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:垂直于同一个平面的两条直线互相平行;垂直于同一条直线的两条直线互相平行;垂直于同
3、一个平面的两个平面互相平行;垂直于同一条直线的两个平面互相平行.则正确的结论是()A.B.C.D.4.D【解析】垂直于同一平面的两条直线互相平行;垂直于同一直线的两条直线可能平行、异面或相交;垂直于同一个平面的两个平面可能平行或相交;垂直于同一条直线的两个平面互相平行,因此其中正确的结论是.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与的位置关系是.5.b或b【解析】易知当b或b时,a,都有ab.6.,是两个不同的平面,m,n是平面及之外的两条不同的直线,给出四个论断:mn;n;m.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题.6.或
4、【解析】mn, , / n, / m.三、解答题(共25分)7.(12分)(2016南京、盐城一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O,E分别为B1D,AB的中点.(1)求证:OE平面BCC1B1;(2)求证:平面B1DC平面B1DE.7.【解析】(1)连接BC1,B1C,OE,设BC1B1C=F,连接OF,因为O,F分别是B1D与B1C的中点,所以OFDC,且OF=DC,又E为AB中点,所以EBDC,且EB=DC,从而OFEB,OF=EB,即四边形OEBF是平行四边形,所以OEBF,又OE平面BCC1B1,BF平面BCC1B1,所以OE平面BCC1B1.(2)因为DC平面BCC1
5、B1,BC1平面BCC1B1,所以BC1DC,又BC1B1C,且DC,B1C平面B1DC,DCB1C=C,所以BC1平面B1DC,而BC1OE,所以OE平面B1DC,又OE平面B1DE,所以平面B1DC平面B1DE.8.(13分)(2015蚌埠质检)如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PA=AD=1,AB=,点F是PD中点,点E是DC边上的任意一点.(1)当点E为DC边的中点时,判断EF与平面PAC的位置关系,并加以证明;(2)证明:无论点E在DC边的何处,都有AFFE.8.【解析】(1)因为EF分别是CD,PD的中点,则EF是PCD的中位线,EFPC.又因为EF
6、平面PAC,PC平面PAC,EF平面PAC.(2)因为PA底面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD,又因为CDAD,所以CD平面PAD,CDAF.又因为PA=AD,点F是PD中点,所以AFPD,从而AF平面PCD,又因为EF平面PCD,所以AFEF.高考冲关1.(5分)(2015杭州质检)已知ABC-A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱,M是B1C1的中点,则下列命题正确的是()A.在棱AB上存在点N,使MN与平面ABC所成的角为45B.在棱AA1上存在点N,使MN与平面BCC1B1所成的角为45C.在棱AC上存在点N,使MN与AB1平行D.在棱BC上存在点N,使MN与AB1垂直1.B【
7、解析】利用定理逐一判断.设该直三棱柱的棱长均为a,取BC的中点P,则MP平面ABC,点N在棱AB上,若MN与平面ABC所成角为45,即MNP=45,则PN=PM=a,而|NP|max=a1,所以AMA145,则在棱AA1上存在点N,使MN与平面BCC1B1所成的角为45,所以B正确.因为点N平面AB1C,那么M,N,A1,B四点不共面,所以MN不可能与AB1平行,所以C错误.取BC的中点K,则AK平面BCC1B1,AKMN,若MNAB1,则MN平面AB1K,此时MNB1K,当N在棱BC上时,MNB1K不可能成立,D错误.2.(5分)在正方形ABCD中,E,F分别是AB及BC的中点,M是EF的中
8、点,沿DE,DF及EF把DAE,DFC,EBF折起使A,B,C三点重合,重合后的点记作P,那么在四面体P-DEF中必有()A.DP平面PEFB.DM平面PEFC.PM平面DEFD.PF平面DEF2.A【解析】因为E,F分别是AB,BC的中点,所以BDEF.因为DAAE,DCCF,所以折叠后DPPE,DPPF,因为PEPF=P,所以DP平面PEF.3.(5分)在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是()A.平面ABD平面BDCB.平面ABC平面ABDC.平面ABC平面ADCD.平面ABC平面BED3.D【解析】连接DE,BE.因为E为对角线AC的中
9、点,且AB=BC,AD=CD,所以DEAC,BEAC.因为DEBE=E,所以AC平面BDE.AC平面ABC,所以平面ABC平面BED.4.(12分)(2015重庆巴蜀中学三诊)在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADBC,BC=2AD=4,AB=CD=,DBC=45.(1)证明:BD平面PAC;(2)若二面角A-PC-D的大小为60,求四棱锥P-ABCD的体积.4.【解析】(1)设O为AC与BD的交点,作DEBC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形得CE=1,DE=3,所以BE=DE,从而得DBC=BCA=45,所以BOC=90,即ACBD.由PA平面ABCD得,PABD,所以BD平面PA
10、C.(2)作OHPC于点H,连接DH.由(1)知DO平面PAC,故DOPC,所以PC平面DOH,从而得PCOH,PCDH.故DHO是二面角A-PC-D的平面角,所以DHO=60.在RtDOH中,由DO=,得OH=.在RtPAC中,.设PA=x,可得.解得x=,即AP=,所以VP-ABCD=APS四边形ABCD=.5.(13分)(2015安徽六校联考)有一个所有棱长均为a的正四棱锥P-ABCD,还有一个所有棱长均为a的正三棱锥,将此三棱锥的一个面与正四棱锥的一个侧面完全重合地粘在一起,得到一个如图所示的多面体.(1)证明:A,B,E,P四点共面;(2)求三棱锥E-ADP的体积;(3)在底面ABC
11、D内找一点M,使EM平面PBC,指出M的位置,并说明理由.5.【解析】(1)取PB的中点F,连接CF,因为各面均为正三角形,所以AFPB,CFPB;且AF=CF=a,所以ACF为A-PB-C的平面角,EFC为E-PB-C的平面角.在AFC中,由余弦定理得cosAFC=-.在EFC中,由余弦定理得cosEFC=.所以AFC+EFC=,由此,A,B,E,P四点在同一个平面内.(2)因为A,B,E,P四点共面,PAB=60,ABE=120,所以APBE,BE平面APD,所以VE-APO=VB-APD=VP-ABD=aaa=a3.(3)设ME平面PBC交平面PBC于点H,则H为PBC的重心.连接AC,在ACE中,因为=2,所以H为ACE的重心,所以M为线段AC的中点.
