1、不等式基本性质、含有绝对值的不等式1不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围解由绝对值的几何意义易知：|x3|x1|的最小值为4，所以不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.2设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1，所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0，故ab1ab.3已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，求集合AB.解|x3|x4|9，当x3时，x
2、3(x4)9，即4x4时，x3x49，即4k的解集为R，求实数k的取值范围解法一根据绝对值的几何意义，设数x，1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于PAPBk恒成立AB3，即|x1|x2|3.故当kk恒成立，从图象中可以看出，只要k3即可故k3满足题意5已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集(1)证明f(x)|x2|x5|当2x5时，32x73.所以3f(x)3.(2)解由(1)可知，当x2时，f(x)x28x15的解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15的解集为x|5xa.(1)若不等式有解；(2)不等式的解集
3、为R；(3)不等式的解集为，分别求出a的取值范围解法一因为|x1|x3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(1)，B(3)距离的差，即|x1|x3|PAPB.由绝对值的几何意义知，PAPB的最大值为AB4，最小值为AB4，即4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，a只要比|x1|x3|的最大值小即可，故a4.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，只要a比|x1|x3|的最小值还小，即a4.(3)若不等式的解集为，a只要不小于|x1|x3|的最大值即可，即a4.法二由|x1|x3|x1(x3)|4.|x3|x1|(x3)(x1)|4.可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，则a4；(2)若
4、不等式的解集为R，则a4；(3)若不等式解集为，则a4.7设函数f(x)|x1|x1|，若不等式|ab|2ab|a|f(x)对任意a、bR且a0恒成立，求实数x的范围解由f(x)，对任意的a、bR，且a0恒成立，而3，f(x)3，即|x1|x1|3，解得x，或x，实数x的范围为.8若关于x的不等式|a|x1|x2|存在实数解，求实数a的取值范围解f(x)|x1|x2|f(x)3.要使|a|x1|x2|有解，|a|3，即a3或a3.9若关于x的不等式|x1|x3|a22a1在R上的解集为，求实数a的取值范围解要使不等式|x1|x3|a22a1在R上的解集为，则a22a1(|x1|x3|)min.
5、又(|x1|x3|)min2，a22a12，即a22a30，1a3.10已知一次函数f(x)ax2.(1)当a3时，解不等式|f(x)|4；(2)解关于x的不等式|f(x)|4；(3)若不等式|f(x)|3对任意x0,1恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a3时，则f(x)3x2，|f(x)|4|3x2|443x2423x6x2，不等式的解集为.(2)|f(x)|4|ax2|44ax242ax0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为.(3)|f(x)|3|ax2|33ax231ax5x0,1，当x0时，不等式组恒成立；当x0时，不等式组转化为.又5，1，1a5且a0.11设函数f(x)|
6、2x4|1.(1)画出函数yf(x)的图象；(2)若不等式f(x)ax的解集非空，求a的取值范围解(1)由于f(x)则函数yf(x)的图象如图所示(2)由函数yf(x)与函数yax的图象可知，当且仅当a或a2时，函数yf(x)与函数yax的图象有交点，故不等式f(x)ax的解集非空时，a的取值范围为(，2).12已知二次函数f(x)x2axb(a，bR)的定义域为1，1，且|f(x)|的最大值为M.(1)试证明|1b|M；(2)试证明M；(3)当M时，试求出f(x)的解析式解 (1)证明：M|f(1)|1ab|，M |f(1)|1ab|，2M |1ab|1ab|(1ab)(1ab)|2|1b|，|1b| M.(2)证明：依题意，M |f(1)|，M |f(0)|，M |f(1)|，又|f(1)|1ab|，|f(1)|1ab|，|f(0)|b|，4M |f(1)|2|f(0)|f(1)|1ab|2|b|1ab|(1ab)2b(1ab)|2，M.(3)当M时，|f(0)|b|，b同理1ab1ab得b由得b，当b时，分别代入得a0，因此f(x)x2.
