1、第二章 函数、导数及其应用第五节 对数与对数函数基础梳理1对数的概念如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫作以 a 为底 N 的对数，记作_2对数的性质与运算法则(1)对数的性质loga1_；logaa_xlogaN01(2)对数恒等式alogaN_(其中 a0 且 a1)(3)对数的换底公式logbN_(a，b 均大于零且不等于 1，N0)(4)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)_；logaMN_；logaMn_(nR)NlogaNlogablogaMlogaN logaMlogaNnlogaM 3对数函数的定义、图像与性质定义函数_叫作对数函数a10
2、a1图像ylogax(a0，且a1)定义域：_值域：_当 x1 时，y0，即过定点_当 0 x1 时，y0；当 x1 时，_当 0 x1 时，y0；当 x1 时，_性质在(0，)上为_在(0，)上为_(0，)(，)(1，0)y0y0增函数减函数4.反函数指数函数 yax(a0 且 a1)与对数函数_(a0 且 a1)互为反函数，它们的图像关于直线_对称ylogaxyx1换底公式的三个重要结论(1)logab 1logba；(2)logambnnmlogab；(3)logablogbclogcdlogad.2对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相
3、应的底数故 0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大四基自测1(基础点：对数运算)lg 2lg 5()A10 B1 Clg 7 Dlg 2 lg 5答案：B2(基础点：对数函数的图像)yln|x|的图像为()答案：B3(基础点：对数函数性质)alog23.4，blog82，clog0.32.7 由大到小的排列顺序为_答案：abc4(易错点：对数函数单调区间与定义域)函数 y2ln(x1)的递增区间为_答案：(1，)考点一 对数式的化简与求值挖掘 1 直接利用对数性质计算/自主练透例 1(1)(2020洛阳市尖子生联考)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x
4、)f(x)，f(x1)f(1x)，且当 x0，1时，f(x)log2(x1)，则 f(31)()A0 B1C1 D2解析 由 f(x1)f(1x)及 f(x)f(x)，得 f(x2)f(x1)1f1(x1)f(x)f(x)，则 f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，函数 f(x)是以 4为周期的周期函数，f(31)f(481)f(1)f(1)log2(11)1，故选 C.答案 C(2)(2018高考全国卷)已知函数(x)ln(1x2x)1，(a)4，则(a)_解析(x)(x)ln(1x2x)1ln(1x2x)1ln(1x2x2)22，(a)(a)2，(a)2.答案 2(3)lg 2lg 5
5、0_答案 1挖掘 2 利用指数与对数的转化求值/互动探究例 2(1)设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则()A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x1，xlog2k，ylog3k，zlog5k.2x3y2log2k3log3k 2logk23logk32logk33logk2logk2logk3logk32logk23logk2logk3 logk98logk2logk30，2x3y；3y5z3log3k5log5k3logk35logk53logk55logk3logk3logk5logk53logk35logk3logk5logk125243logk3logk50，3y
6、5z；2x5z2log2k5log5k2logk25logk52logk55logk2logk2logk5logk52logk25logk2logk5logk2532logk2logk52x.5z2x3y，故选 D.答案 D(2)(2019高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m152 lg E1E2，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A1010.1B10.1Clg 10.1 D1010.1解析 由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1
7、.45(26.7)52lg E1E2，所以 lgE1E210.1，所以E1E21010.1.故选 A.答案 A破题技法 对数的运算方法，主要有两种方法：一是对数式转化为指数式；二是利用对数运算法则，进行变形：(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并，正确使用幂的运算法则(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算，正确使用对数的运算法则(3)注意指数式与对数式的相互转化关系将例 2(1)变为：设 2a5bm，且1a1b2，则 m_解析：alog2m，bl
8、og5m.1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm10.logm102，m210，m 10.答案：10考点二 对数函数的图像及应用挖掘 1 辨认对数型图像/自主练透例 1(1)(2018高考全国卷)下列函数中，其图像与函数 yln x 的图像关于直线 x1 对称的是()Ayln(1x)Byln(2x)Cyln(1x)Dyln(2x)解析 函数 y(x)的图像与函数 y(ax)的图像关于直线 xa2对称，令 a2 可得与函数 yln x 的图像关于直线 x1 对称的是函数 yln(2x)的图像故选 B.答案 B(2)(2019高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 y 1ax，
9、ylogax12(a0，且a1)的图像可能是()解析 当 0a1 时，函数 yax 的图像过定点(0，1)，在 R 上单调递增，于是函数 y 1ax的图像过定点(0，1)，在 R 上单调递减，函数 ylogax12 的图像过定点12，0，在12，上单调递增显然 A、B、C 三个选项都不符合故选 D.答案 D挖掘 2 利用对数型图像求参数/互动探究例 2 当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是()A.0，22 B.22，1C(1，2)D(2，2)解析 由题意得，当 0a1 时，要使得 4xlogax0 x12，即当 0 x12时，函数 y4x 的图像在函数 ylogax 图像的下
10、方又当 x12时，4122，即函数 y4x 的图像过点12，2，把点12，2 代入函数 ylogax，得 a 22，若函数 y4x 的图像在函数 ylogax 图像的下方，则需 22 a1(如图所示)当 a1 时，不符合题意，舍去所以实数 a 的取值范围是22，1.答案 B破题技法 1.(1)ylog1axlogax，故与 ylogax 的图像关于 x 轴对称(2)在第一象限，顺时针方向看对数的底逐渐变大2应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常
11、转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解求参数时往往使其中一个函数图像“动起来”，找变化的边界位置，得参数范围与绝对值相联系的函数图像y|logax|(a1)的图像如图(1)yloga|x|(a1)的图像如图(2)y|loga|x|(a1)的图像如图(3)将例 2 变为：若不等式 x2logax0 对 x0，12 恒成立，求实数 a 的取值范围解析：显然 0a1，当 ylogax 过点12，14 时，即 loga1214，a 116，如图，显然满足 x2logax0，令 ylogax 绕(1，0)顺时针转动时，满足x2logax0，116a1.考点三 对数函数的性质及其应用挖掘 1 与对数
12、大小有关的问题/互动探究例 1(1)ab 的充分不必要条件是()Aln(ab)0 B3a3bCa3b30 D|a|b|解析 Aln(ab)0，ab10，ab.但 ab 时ab1，故 abln(ab)0.Ca3b30a3b3ab.B、D 是既不充分也不必要故选 A.答案 A(2)已知 为圆周率，e 为自然对数的底数，则()Ae3eB3e23e2Clogelog3e Dlog3e3loge解析 对于选项 A，函数 yxe 在(0，)上单调递增，所以 e3e，故选项 A错误对于选项 B，3e23e2，两边同时除以 3 可得 3e3e3，由函数 yxe3 在(0，)上单调递减可得选项 B 错误对于选项
13、 C，由 logelog3e 可得 1ln 1ln 3，所以 ln ln 3，而函数 yln x 在(0，)上单调递增，故选项 C 错误对于选项 D，由 log3 e3log e 可得ln 3 3ln，所以 ln 3ln 3，所以 33，故选项 D 正确故选 D.答案 D破题技法 1.(1)形如函数 ylogaf(x)求定义域，要在 a0，a1 的前提下，使f(x)0.(2)判断 ylogaf(x)型的奇偶性要结合对数的运算：logaf(x)logaf(x)及 logaf(x)logaf(x)，其单调性利用复合函数 ylogan，nf(x)的单调性的法则2比较对数式大小的类型及相应的方法(1)
14、若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较(3)若底数与真数都不同，则常借助 1，0 等中间量进行比较挖掘 2 与对数有关的不等式/互动探究例 2(1)已知函数 f(x)loga(8ax)(a0，a1)，若 f(x)1 在区间1，2上恒成立，则实数 a 的取值范围为_解析 当 a1 时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由 f(x)1 恒成立，则f(x)minloga(82a)1，解得 1a83.若 0a1 时，f(x)在 x1，2上是增函数，由 f(x)1 恒成
15、立，则 f(x)minloga(8a)1，08aa，4a8 无解综上 a 的范围为(1，83)答案 1，83(2)解不等式 2loga(x4)loga(x2)解析 当 a1 时，原不等式等价于（x4）2x2，x40，x20，解得，x6；当 0a1 时，原不等式等价于（x4）2x2，x40，x20，解得，4x6.所以当 a1 时，不等式的解集为(6，)；当 0a1 时，不等式的解集为(4，6)破题技法 1.求形如 ylogaf(x)的单调区间，首先求定义域：f(x)0，同时结合复合函数“同增异减”的法则2解对数不等式的类型及方法(1)形如 logaxlogab 的不等式，借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0a1 两种情况讨论(2)形如 logaxb 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式设函数 f(x)log2x，x0，log12（x），x0，若 f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(1，0)(1，)D(，1)(0，1)解析：由题意可得a0，log2alog2a或a0，log（a）log2（a），解得 a1 或1a0.答案：C
