1、第二章 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示基础梳理1函数的概念(1)设 A，B 都 是 非 空 的 数 集，如 果 按 照 某 种 确 定 的 对 应 关 系 f，使_，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 yf(x)，xA.对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应(2)函数的三要素函数由_、_和_三个要素构成，对函数 yf(x)，xA，其中定义域：自变量 x 的取值范围；值域：函数值的集合_2函数的表示法表示函数的常用方法有：_、_、_3分段函数若函数在定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数定
2、义域对应关系值域f(x)|xA解析法列表法图像法对应关系1两种对应关系f：AB 表示从 A 到 B 的一个函数，即从 A 到 B 的元素是一对一或多对一，值域为 B 的子集2两个关注点(1)分段函数是一个函数(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集3函数的三要素与相等函数函数的三要素为定义域、对应法则和值域，而值域是由定义域和对应法则确定的，故如果两个函数的定义域、对应法则分别相同，这两个函数为相等函数四基自测1(基础点：函数的定义域)函数 f(x)2x1 1x2的定义域为()A0，2)B(2，)C0，2)(2，)D(，2)(2，)答案：C2(基础点：待定系数法求解析式)若 f(x
3、)x2bxc 且 f(1)0，f(3)0，则 f(x)_答案：x24x33(基础点：求函数值)已知函数 f(x)log2(x2a)若 f(3)1，则 a_解析：f(x)log2(x2a)且 f(3)1，1log2(9a)，9a2，a7.答案：74(基础点：分段函数)已知函数 f(x)ex，x0ln x，x0，则 f(f(1e)_答案：1e考点一 求函数的定义域挖掘 1 求给定函数解析式的定义域/自主练透例 1(1)函数 f(x)3xx2lg(3x)的定义域是()A(3，)B(2，3)C2，3)D(2，)解析 由题意得x20，3x0，解得 2x3，故选 B.答案 B(2)(2020九江七校联考)
4、函数 y9x2log2（x1）的定义域是()A(1，3)B(1，3C(1，0)(0，3)D(1，0)(0，3解析 由题意得9x20，x10，x111x3 且 x0.故选 D.答案 D破题技法 已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若 f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可挖掘 2 抽象函数的定义域/互动探究例 2(1)若函数 yf(x)的定义域是0，3，则函数 g(x)f（3x）x1 的定义域是(
5、)A0，1)B0，1C0，1)(1，9 D(0，1)解析 依题意得03x3，x10，即 0 x1，因此函数 g(x)的定义域是0，1)，故选A.答案 A(2)若函数 f(2x1)的定义域为1，1，则函数 f(x21)的定义域为_解析 因为 f(2x1)的定义域为1，1，即1x1，所以12x13，对函数 f(x21)而言，1x213，解得2x2.答案 2，2破题技法 1.若已知函数 f(x)的定义域为a，b，则复合函数 f(g(x)的定义域可由不等式 ag(x)b 求出2若已知函数 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa，b上的值域提醒：(1)定义域的形式是集合或
6、者区间；(2)混淆 f(2x1)与 f(x)与 f(x21)中的 x 的意义1若例 2(1)的条件不变，求 g(x)f（2x）（x1）0的定义域解析：02x3x10，0 x32x1，定义域为0，1)(1，322若例 2(2)条件不变，求 f(x)的定义域解析：由1x1，得12x13，f(x)的定义域为1，3考点二 求函数的解析式挖掘 1 待定系数法求解析式/互动探究例 1 已知 f(x)是一次函数，且 ff(x)4x3，则 f(x)的解析式为_解析 由题意设 f(x)axb(a0)，则 ff(x)f(axb)a(axb)ba2xabb4x3，a24，abb3，解得a2，b3或a2，b1.故所求
7、解析式为 f(x)2x3 或 f(x)2x1.答案 f(x)2x3 或 f(x)2x1破题技法 方法解读适合题型待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数，从而得到所求函数的解析式已知所求曲线的种类和函数解析式的具体形式挖掘 2 配凑、换元法求解析式/自主练透例 2 已知 f(x1)x2 x，则 f(x)的解析式为_解析 法一：设 t x1(t1)，则 x(t1)2，f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21，f(x)x21(x1)法二：x2 x(x)22 x11(x1)21，f(x1)(x1)21，f
8、(x)x21(x1)答案 f(x)x21(x1)破题技法 方法解读适合题型配凑法由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式形如 yf(g(x)的函数解析式换元法对于形如 yf(g(x)的函数解析式，可令 tg(x)，从中求出 x(t)，然后代入表达式求出 f(t)，得到关于 t 的解析式，再将 t 换成 x，得到 f(x)的解析式，此时自变量 x 的定义域就是 tg(x)的值域形如 yf(g(x)的函数解析式挖掘 3 方程组法求解析式/互动探究例 3 已知函数 f(x)满足 f(x)2f1x x，求 f(x)的
9、解析式解析 由 f(x)2f1x x，得 f1x 2f(x)1x，2 得 f(x)x4f(x)2x，则 f(x)23x13x.破题技法 方法解读适合题型解方程组法已知 f(x)与 f(g(x)满足的关系式，要求 f(x)时，可用(x)代替两边的所有x，得到关于 f(x)及 f(x)的方程组，解之即可得出 f(x)已知关于 f(x)与 f1x 或 f(x)与f(x)的表达式已知函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)2f1x x1，则 f(x)_解析：在 f(x)2f1xx1 中，用1x代替 x，得 f1x 2f(x)1x1，将 f1x 2f（x）x1，代入 f(x)2f1xx1 中，可求
10、得 f(x)23 x13.答案：23 x13考点三 分段函数及应用挖掘 1 已知自变量求函数值/自主练透例 1(2020合肥一模)已知函数 f(x)x 1x2，x2，x22，x2，则 ff(1)()A12 B2C4 D11解析 函数 f(x)x 1x2，x2，x22，x2，f(1)1223，ff(1)f(3)3 1324.故选 C.答案 C挖掘 2 给定函数值求自变量/互动探究例 2(1)已知 f(x)x12，x0，），|sin x|，x2，0，若 f(a)12，则 a_解析 若 a0，由 f(a)12得，a1212，解得 a14；若 a0，则|sin a|12，a2，0，解得 a6.综上可知
11、，a14或6.答案 14或6(2)已知函数 f(x)2x2，x1，log2（x1），x1，且 f(a)3，则 f(6a)_解析 当 a1 时，f(a)2a23 无解；当 a1 时，由 f(a)log2(a1)3，得 a18，解得 a7，所以 f(6a)f(1)21232.答案 32挖掘 3 分段函数与不等式问题/互动探究例 3(2018高考全国卷)设函数 f(x)2x，x0，1，x0，则满足 f(x1)f(2x)的 x的取值范围是()A(，1B(0，)C(1，0)D(，0)解析 当x10，2x0，即 x1 时，(x1)(2x)即为 2(x1)22x，即(x1)2x，解得 x1.因此不等式的解集
12、为(，1当x10，2x0时，不等式组无解当x10，2x0，即1x0 时，(x1)(2x)即 122x，解得 x0.因此不等式的解集为(1，0)当x10，2x0，即 x0 时，(x1)1，(2x)1，不合题意综上，不等式(x1)(2x)的解集为(，0)故选 D.答案 D挖掘 4 分段函数与方程问题/互动探究例 4(2018高考全国卷)已知函数(x)ex，x0，ln x，x0，g(x)(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是()A1，0)B0，)C1，)D1，)解析 令 h(x)xa，则 g(x)(x)h(x)在同一坐标系中画出 y(x)，yh(x)图像的示意图，如图所示若
13、g(x)存在 2 个零点，则 y(x)的图像与yh(x)的图像有 2 个交点，平移 yh(x)的图像，可知当直线 yxa 过点(0，1)时，有 2 个交点，此时 10a，a1.当 yxa 在 yx1 上方，即 a1 时，仅有 1 个交点，不符合题意当 yxa 在 yx1 下方，即 a1 时，有 2 个交点，符合题意综上，a 的取值范围为1，)故选 C.答案 C破题技法 1.根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解2已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论将例 3 改为 f(x)1，x0ln（xe），x0，满足 f(x1)f(2x)的 x 的范围为_解析：由题意得x1ee2x0 x12x，得e2x0.答案：(e2，0)
