1、海原一中2020-2021学年第一学期第二次月考高二数学（理科）试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由一元二次不等式可得，再与交集的概念即可得解.【详解】由题意，所以.故选：C.2. 若，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】举出反例可判断A、B，由不等式的性质可判断C，由指数函数的单调性可判断D.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，由可得，则，故C正确；对于D，因为函数在R上单调递增，若，则，
2、故D错误.故选：C.3. 等差数列中，已知，33，则为（ ）A. 50B. 49C. 48D. 47【答案】A【解析】因为,所以 选A.4. 如果，那么的最小值是（ ）A. 4B. C. 9D. 18【答案】D【解析】【分析】先由对数的运算法则得出,再利用基本不等式性质可求出最小值.【详解】解：,又由已知条件隐含着,故,当且仅当时取到最小值所以的最小值为.故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化
3、成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5. 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，依题意可得，解得，.故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、
4、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.6. 在约束条件下，目标函数的最大值为（ ）A. 1B. C. 不存在D. 【答案】A【解析】【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为点与可行域内点连线的斜率，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图，目标函数可看做点与可行域内点连线的斜率，数形结合可得，当点在直线上时，.故选：A.7. 某人向正东走了x km后向右转了150，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是（ ）A. B. C. 3D. 或【答案】D【解析】【分析】首先求得A的度数，然后分类讨论求解x的值即可.【详解】由题作出示意图，如图所
5、示，易知，由正弦定理得，因为，所以，又因为，所以有两解，即或.当时，；当时，.本题选择D选项.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.8. 下列函数中，最小值为4的是（ ）A. B. （）C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式对四个选项分别判断可得结论【详解】对于A，当时，函数无最小值，所以A不正确对于B，由题意得，且，而当等号成立时需满足，即，所以B不正确对于C，由题意
6、得，当且仅当，即时等号成立，所以C正确对于D，当时，所以D不正确故选C【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，即“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误9. 下列命题中为真命题的是()A. 命题“若，则”的逆命题B. 命题“，则”的否命题C. 命题“若，则”的否命题D. 命题“若，则”的逆否命题【答案】A【解析】命题“若,则”的逆命题为“若,则”，所以为真命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为-2,但，所以为假命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为当时，所以为假命题；命题“若,则”为假命题，所以其逆否命题为假
7、命题，因此选A10. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意列出关于x的方程，把（1+p）（1+q）去括号化简后，利用基本不等式ab变形，然后开方即可得到正确答案【详解】根据题意得：（1+p）（1+q）（1+x）2，而（1+p）（1+q）1+p+q+pq1+p+q+，当且仅当pq时取等号，即（1+x）2，两边开方得：1+x1+即x故选：C【点睛】本题考查学生灵活运用基本不等式化简求值，考查分析推理能力，属于基础题.11. 若不等式的解集为，则的值分别是（ ）A. B. ，C. ，D. ，【答
8、案】C【解析】【分析】根据解集可得对应方程的根，利用韦达定理可求的值【详解】由不等式的解集可知方程的两根为.由韦达定理可得.故选：C.12. 给出平面区域如图所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】【详解】主要考查二元一次不等式（组）的几何意义，运用所学知识，求解最值问题解：因为使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，所以直线应平行于直线AC，所以，的值为，故选B二、填空题：（每小题5分）13. 若，则_【答案】【解析】【分析】由题意结合诱导公式、二倍角余弦公式直接运算即可得解.【详解】若，则，.故答案为：.14. 设变量满
9、足约束条件,则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】画出约束条件满足的可行域，通过向上平移基准直线找到使取得最大值的位置，然后求解.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数过点时取得最大值，联立解得点故的最大值为.故答案为：18.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值，较易.解答时准确画出约束条件满足的可行域、确定取得最优解的位置是关键.15. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.【答案】5400【解析】主要考查不等关系与基本不等式解：设底面一边长 m，那么另一边长为 m，如图：总
10、造价为：=5400，当且仅当x=3时，取等号，即当x=3时，y取得最小值为5400元，此时底面为边长为3m的正方形故答案为540016. 在R上定义运算，则满足的实数x的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由新定义转化条件为，解一元二次不等式即可得解.详解】由题意，即，解得，所以实数x的取值范围是.故答案为：.三、解答：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 解下列不等式（1）； （2）【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解法运算即可得解；（2）转化不等式为，按照、分类，结合一元二次不等式的解法即可得解.【详解】（1）令，解得，所以不等式的解集为；（2）
11、不等式即为，若时，不等式的解集为；若时，不等式的解集为；若时，不等式的解集为.18. 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列（1）求数列通项公式（2）设，求数列的前项和【答案】（1）或；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式结合等比数列的性质即可得解；（2）由分组求和法结合等差、等比数列前n项和公式即可得解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，得，解得或，所以或；（2）当时，此时；当时，此时.19. 某企业生产A，B两种产品，生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，
12、该企业仅有劳动力300个，煤，并且供电局只能供电，试问该企业生产A，B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？产品品种劳动力（个）煤（t）电（kW）A产品394B产品1045【答案】该企业生产A种产品20吨，B种产品24吨，能获得最大利润.【解析】【分析】设该企业生产A种产品x吨，B种产品y吨，写出约束条件后结合线性规划的知识即可得解.【详解】设该企业生产A种产品x吨，B种产品y吨，获得利润，则，作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时，取最大值，由可得点，所以，所以该企业生产A种产品20吨，B种产品24吨，能获得最大利润.20. 四边形的内角A与C互补，
13、（1）求角C；（2）求四边形的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）连接，由余弦定理结合角A与C互补列方程即可得解；（2）由结合三角形面积公式即可得解.【详解】（1）连接，如图，由余弦定理得，因为角A与C互补，所以，即，解得，所以，又，所以；（2）由（1）得，所以.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用余弦定理表示出，再由列方程即可得解.21. 已知函数（1）当x是任意实数时，恒成立，求的取值范围；（2）当时，恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）由二次不等式恒成立可得，即可得解；（2）转化条件为，结合基本不等式求得即可得解.【详解】（1）当x是任意实数
14、时，即恒成立，则，解得，所以的取值范围为；（2）由题意，即对恒成立，所以即对恒成立，所以，令，则，所以，当且仅当即时，等号成立，所以即.【点睛】结论点睛： 一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集 22. 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（）ab+bc+ac；（）.【答案】（）证明见解析；（II）证明见解析.【解析】【分析】【详解】（）由，得：，由题设得，即，所以，即（）因为，所以，即，所以.本题第（）（）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
