1、2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=R，集合M=x|0x5，N=x|x2，则（UN）M=（）Ax|0x2Bx|0x2Cx|0x2Dx|0x22已知=b+i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=（）A1B1C2D33等比数列an的各项均为正数，且a1a8=9，则log3al+log3a2+log3a8=（）A10B9C8D74已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）AxR，f（x）f（x）BxR，f（x）f（x）Cx0R，f（x0）f（x0）D
2、x0R，f（x0）f（x0）5若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则mn=（）A5B6C7D86设非零向量，满足|=|=|， +=，则向量与向量的夹角为（）A150B120C60D307如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）AlB2C2D48如图表示的是求首项为2016，公差为3的等差数列an前n项和的最大值的程序框图，则和处可填写（）Aa0？，a=a3Ba0？，a=a+3Ca0？，a=a3Da0？，a=a+39已知A（1，0）、B（2，1）、C（5，8），ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到
3、直线l的距离为（）AB1CD10已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=1，点Al，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则|=（）A6B35C4D4011如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）AB5C6D712已知函数f（x）的导函数为f（x），若x（0，+），都有xf（x）2f（x）成立，则（）A2f（）3f（）B2f（1）3f（）C4f（）3f（2）D4f（1）f（2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若（a）5展开式中的常数项为40，则a_14已知三棱柱ABCA
4、1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12，AB=2，AC=1，BAC=60，则此三棱柱的体积为_15若数列an满足a1=2，an+1=an+log2（1），则a32=_16若函数f（x）=x24exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且（I）求角A；（）当a=6，且ABC的面积S满足=时，求边c的值和ABC的面积18某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击成绩作为
5、一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率8.4，8.9）90.158.9，9.4）m0.39.4，9.9）24n9.9，10.4）qp10.4，10.9）30.05合计t1（I）求表中t，p及图中a的值；（）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望19如图，在三棱锥PABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角BPAC为120（I）证明：FGAH；（）求二面角ACPB的余弦值20已知椭圆C： =l（ab0），F1、F2为左右焦点，下
6、顶点为B1，过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1Bl（I）求椭圆C的离心率；（）若P为椭圆上一动点，直线PM、PN的斜率记为kPM、kPN，且不为零，当直线l垂直于x轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=ln（1+x）一（a0）（I）当f（x）在0，+）内单调递增时，求实数a的取值范围；（）证明：【选修4-1：几何证明选讲】22如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E（I）求证：CD为圆O的切线；（）若OA=AD=4，求OC的长【选修4-4：坐标系与参数方程】23已知在
7、直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x2）2+（yl）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|OB|的值【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|xa|（aR）（I）当a=3时，解不等式f（x）4|x+l|；（）若不等式f（x）l的解集为1，3，且（m0，n0），求m+2n的最小值2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=
8、R，集合M=x|0x5，N=x|x2，则（UN）M=（）Ax|0x2Bx|0x2Cx|0x2Dx|0x2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据补集的定义求出N在全集中的补集UN，再求（UN）M即可【解答】解：全集U=R，集合M=x|0x5，N=x|x2，UN=x|x2则（UN）M=x|0x2故选：A2已知=b+i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=（）A1B1C2D3【考点】复数代数形式的混合运算【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果【解答】解：由得a+2i=bi1，所以由复数相等的意义知a=1，b=2，所以a+b=1另解：由得ai+2=b+i（a，bR），则a=1
9、，b=2，a+b=1故选B3等比数列an的各项均为正数，且a1a8=9，则log3al+log3a2+log3a8=（）A10B9C8D7【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的性质和对数运算法则求解【解答】解：等比数列an的各项均为正数，且a1a8=9，log3al+log3a2+log3a8=4log39=8故选：C4已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）AxR，f（x）f（x）BxR，f（x）f（x）Cx0R，f（x0）f（x0）Dx0R，f（x0）f（x0）【考点】全称命题；特称命题【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：xR，f（
10、x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案【解答】解：定义域为R的函数f（x）不是偶函数，xR，f（x）=f（x）为假命题；x0R，f（x0）f（x0）为真命题，故选：C5若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则mn=（）A5B6C7D8【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，将目标函数变形为y=x+z，根据可行域找到直线截距取得最大值和最小值时的最优解【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=x+y得y=x+z，由可行域可知当直线y=x+z经过点A时，直线截距最大，即z最大，当直线y=x+z经过点B时，直线截距最小，即z最小解方程组得x=4，y
11、=5z的最大值m=4+5=9解方程组得x=1，y=2z的最小值n=1+2=3mn=6故选：B6设非零向量，满足|=|=|， +=，则向量与向量的夹角为（）A150B120C60D30【考点】平面向量数量积的运算【分析】作出图形，根据向量的几何意义和几何知识求出夹角【解答】解：设，以，为邻边作平行四边形OACB，则=|=|，四边形OACB是菱形设OA=AC=1，则OC=cosAOC=AOC=30故选：D7如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）AlB2C2D4【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正
12、方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出最长的棱，判断出该四面体各面中最大的面，由三角形的面积公式求出即可【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥PABC为棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，最长棱为PC=PB=BC=2，其他棱长都小于2，PBC是该四面体各面中最大的面，PBC的面积S=2，故选：C8如图表示的是求首项为2016，公差为3的等差数列an前n项和的最大值的程序框图，则和处可填写（）Aa0？，a=a3Ba0？，a=a+3Ca0？，a=a3Da0？，a=a+3【考点】程序框图【分析】由程序设计意图可知，处应求通项，有a=a3，又由此数列首项为正数，公差为负数
13、，求前n项和的最小值只需累加至最后一个正项即可，从而可求处可填写：a0【解答】解：由程序设计意图可知，S表示此等差数列an前n项和，故处应该填写a=a3，又因为此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最大值只需累加至最后一个正项即可，故处可填写：a0故选：A9已知A（1，0）、B（2，1）、C（5，8），ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）AB1CD【考点】直线与圆的位置关系【分析】先判断出ABC为以B为直角的直角三角形，进而求出ABC的外接圆在点A处的切线l的方程，代入点到直线距离公式，可得答案【解答】解：A（1，0）、B（2，1）、C（5，8），=（3，1），=（
14、3，9），=0，故，故ABC为以B为直角的直角三角形，故AC为ABC的外接圆的直径，kAC=，故ABC的外接圆在点A处的切线l的斜率为，故ABC的外接圆在点A处的切线l的方程为y=（x+1），即3x4y+3=0，故点B到直线l的距离d=1，故选：B10已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=1，点Al，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则|=（）A6B35C4D40【考点】抛物线的简单性质【分析】设A（1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共线的坐标表示，由=5，确定A，B的坐标，即可求得|【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），设A（1，a），B（m，
15、n），且n2=16m，=5，14=5（m4），m=3，n=4，a=5n，a=20，|=35故选：B11如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）AB5C6D7【考点】平面向量数量积的运算【分析】设A（a，0），D（0，b），BAX=，利用AD=1得出a，b之间的关系，用a，b，表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值【解答】解：设A（a，0），D（0，b），BAX=，则B（a+2cos，2sin），C（2cos，b+2sin）AD=1，a2+b2
16、=1=2cos（a+2cos）+2sin（b+2sin）=4+2acos+2bsin=4+sin（+）=4+2sin（+）的最大值是4+2=6故选：C12已知函数f（x）的导函数为f（x），若x（0，+），都有xf（x）2f（x）成立，则（）A2f（）3f（）B2f（1）3f（）C4f（）3f（2）D4f（1）f（2）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】通过所给关系式，构造新的函数g（x）=，对g（x）求导，得到关系【解答】解：令g（x）=，则g（x）=，xf（x）2f（x），x（0，+），g（x）0恒成立g（x）是在（0，+）单调递减，g（1）g（2），即4f（1）f（2）故选D二、填空
17、题：本大题共4小题，每小题5分13若（a）5展开式中的常数项为40，则a=2【考点】二项式系数的性质【分析】根据二项式展开式的通项公式，写出常数项，由此列方程求出a的值【解答】解：（a）5展开式的通项为Tr+1=C5r（a）5r（）r=（1）rC5ra5rx，令=0，可得r=3，又r=3时，T4=（1）3C53a2=10a2，由题意得10a2=40，解得a=2故答案为：214已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12，AB=2，AC=1，BAC=60，则此三棱柱的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据余弦定理计算BC，可发现BC2+AC2
18、=AB2，即ACBC故外接球球心在上下底面斜边中点的连线中点处，根据球的面积计算半径，得出棱柱的高【解答】解：在ABC中，BC=BC2+AC2=AB2，即ACBCAB为ABC所在球的截面的直径取AB，A1B1的中点D，D1，则棱柱外接球的球心为DD1的中点O，设外接球的半径为r，则4r2=12，r=即OB=，OD=棱柱的高DD1=2OD=2棱柱的体积V=SABCDD1=故答案为15若数列an满足a1=2，an+1=an+log2（1），则a32=3【考点】数列递推式【分析】根据累加法和对数的运算性质即可求出数列的通项公式，代值计算即可【解答】解：an+1=an+log2（1）=log2（），a
19、n+1an=log2（）a2a1=log2，a3a2=log2，anan1=log2（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=log2（）=log2（）=log2nan2=log2n，an=2log2n，a32=2log232=3，故答案为：316若函数f（x）=x24exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（，2ln22【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据题意可得a2x4ex有解，转化为g（x）=2x4ex，ag（x）max，利用导数求出最值即可【解答】解：函数f（x）=x24exax，f（x）=2x4exa，函数f（x）=x24exax在R上存在单调递增区间，f（x）
20、=2x4exa0，即a2x4ex有解，令g（x）=2x4ex，g（x）=24ex，g（x）=24ex=0，x=ln2，g（x）=2ex0，xln2，g（x）=2ex0，xln2当x=ln2时，g（x）max=2ln22，a2ln22即可故答案为：（，2ln22三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且（I）求角A；（）当a=6，且ABC的面积S满足=时，求边c的值和ABC的面积【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理【分析】（I）由向量平行列出方程解出cosA；（II）根据
21、余弦定理和面积公式解出tanC，使用正弦定理求出c，代入面积公式解出面积【解答】解：（I）cos2cos2（B+C）=0，即（1+cosA）cos2A=0，解得cosA=1（舍）或cosA=A=（II）=，a2+b2c2=4S=2absinC又a2+b2c2=2abcosC，tanC=C=由正弦定理得，c=2sinB=sin（A+C）=sin=SABC=318某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击成绩作为一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率8.4，8.9）90.158.9，9.4）m0.39.4，9.9）24n9.
22、9，10.4）qp10.4，10.9）30.05合计t1（I）求表中t，p及图中a的值；（）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【分析】（）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，能求出表中t，p及图中a的值（）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望【解答】解：（）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，得：，解得t=60，n=0.4，a=0.80.15+0.3+n+
23、p+0.05=1，p=0.1（）由直方图，得不少于9.9环的成绩的次数为600.15=9，成绩不少于10.4环的次数为3，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 PE（X）=119如图，在三棱锥PABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角BPAC为120（I）证明：FGAH；（）求二面角ACPB的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FGAH；（）建立坐标系求出平面的法向量
24、，利用向量法进行求解即可求二面角ACPB的余弦值【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，PF=FC，FMPA，PA平面ABC，FM平面ABC，AB=AC，H是BC的中点，AHBC，GMBC，AHGM，GFAH（）建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P（0，0，2），H（，0），C（0，2，0），B（，1，0），F（0，1，1），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos，=，即二面角ACPB的余弦值是20已知椭圆C： =l（ab0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，过F的直线l交椭
25、圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1Bl（I）求椭圆C的离心率；（）若P为椭圆上一动点，直线PM、PN的斜率记为kPM、kPN，且不为零，当直线l垂直于x轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由已知得F1（c，0），B1（0，b），由题意知，从而b=，由此能求出椭圆C的离心率（）设P（x0，y0），（x0c），M（c，），N（c，），则=，由此能求出存在最小值【解答】解：（）椭圆C： =l（ab0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，F1（c，0），B1（0，b），过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B
26、l，由题知F1B1l，b=，e=（）设P（x0，y0），（x0c），M（c，），N（c，），则=，又PC，=1，得，=，|=|=，又ax0a，且x0c，1，且，|=存在最小值21已知函数f（x）=ln（1+x）一（a0）（I）当f（x）在0，+）内单调递增时，求实数a的取值范围；（）证明：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（I）当f（x）在0，+）内单调递增时，f（x）=0，结合a0，即可求实数a的取值范围；（）要证明，只要证明e，两边取对数可得2016ln1，只要证明ln0，构造函数f（x）=ln（1+x），其中f（0）=0，即可证明【解答】（I）解：当f
27、（x）在0，+）内单调递增时，f（x）=0，即x+1a0在0，+）内恒成立，ax+1在0，+）内恒成立，又x+1的最小值为1，a1，a0，0a1；（）证明：要证明，只要证明e，两边取对数可得2016ln1，只要证明ln0，注意到2016=2015+1，所以ln=ln（1+）=ln（1+）构造函数f（x）=ln（1+x），其中f（0）=0，由（I）知，x0，f（x）=ln（1+x）在0，+）内是增函数，f（）=lnf（0）=0，ln，【选修4-1：几何证明选讲】22如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E（I）求证：CD为圆O的切线；（）若O
28、A=AD=4，求OC的长【考点】圆的切线的性质定理的证明【分析】（I）连接OD，证明OBCODC，可得ODC=OBC=90，即可证明CD为圆O的切线；（）RtOBC中，BEOC，OB2=OEOC，即可求OC的长【解答】（I）证明：连接ODAB为圆D的直径，ADDB，ADOC，BDOC，E为BD的中点，CB=CD，OBCODC，ODC=OBC=90，CD为圆O的切线；（）解：由题意，OB=OA=4，OE=AD=2，RtOBC中，BEOC，OB2=OEOC，OC=8【选修4-4：坐标系与参数方程】23已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x2）2+（yl）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角
29、为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|OB|的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）曲线C的方程是（x2）2+（yl）2=4，展开把2=x2+y2，x=cos，y=sin代入可得极坐标方程由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得： +1=0，利用|OA|OB|=|12|即可得出【解答】解（I）曲线C的方程是（x2）2+（yl）2=4，展开可得：x2+y24x2y+1=0，把2=x2+y
30、2，x=cos，y=sin代入可得极坐标方程24cos2sin+1=0由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得： +1=0，12=1|OA|OB|=|12|=1【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|xa|（aR）（I）当a=3时，解不等式f（x）4|x+l|；（）若不等式f（x）l的解集为1，3，且（m0，n0），求m+2n的最小值【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（）当a=3，不等式即|x3|+|x1|4，不等式恒成立，从而求得|x2|+|x1|5的解集（）由f（x）1求得 a1xa+1，再根据f（x）1的解集为1，3，可得a=2，再利用基本不等式的性质求出最小值即可【解答】解：（）当a=3，不等式f（x）4|x1|，即|x3|+|x1|x3x+1|=4由绝对值的意义可得；不等式恒成立，故|x3|+|x1|4的解集为R（）由f（x）1 可得1xa1，求得 a1xa+1，再根据f（x）1的解集为1，3，可得a=2故有+=2（m0，n0），即+=1，m+2n=（m+2n）（+）=1+2，当且仅当=时，等号成立，故m+2n的最小值是22016年9月17日
