1、1正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的全面积为_解析：S 底6 34 4224 3，S 侧646144，所以 S 全S 侧2S 底14448 348(3 3)答案：48(3 3)2若两球表面积之比是 49，则其体积之比为_解析：设两球半径分别为 r1，r2，因为 4r214r2249，所以 r1r223，所以两球体积之比为 43r3143r32 r1r23 233827.答案：8273一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的棱长为 a，则球的表面积为_解析：由题意知，球的半径 Ra2.所以 S 球4R2a2.答案：a24以下命题：以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆
2、锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为_解析：命题错，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行 答案：15(2016苏州模拟)已知一个圆锥的母线长为 2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_解析：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则 22r，故 r1，故 h 41 3，故圆锥的体积为1312 3 33.答案：33 6(2016苏锡常镇四市调研)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD是矩形，AB2，AD3，PA4，点 E 为棱 CD 上一点，则三棱锥 E-PAB 的体积为_解析：因为 VEP
3、ABVPABE13SABEPA1312ABADPA13122344.答案：47(2016山东省实验中学第一次诊断测试)如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A-DED1 的体积为_解析：VADED1VEADD113SADD1CD131211116.答案：168.如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析：如图，四棱锥的高 h1222 22，所以 V13Sh131 22 26.答案：269已知三棱锥 A-BCD 的所有棱长都为 2，则该三棱锥的外接球的表面积为_解
4、析：如图，构造正方体 ANDM-FBEC.因为三棱锥 A-BCD 的所有棱长都为 2，所以正方体 ANDM-FBEC 的棱长为 1.所以该正方体的外接球的半径为 32.易知三棱锥 A-BCD 的外接球就是正方体 ANDM-FBEC 的外接球，所以三棱锥 A-BCD的外接球的半径为 32.所以三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为 S 球43223.答案：310我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水的体积除以盆口的面积；一尺等于十寸
5、)解析：作出圆台的轴截面如图，由题意知，BF14(单位寸，下同)，OC6，OF18，OG9，即 G 是 OF 中点，所以 GE 为梯形的中位线，所以 GE146210，即积水的上底面半径为 10.所以盆中积水的体积为13(1003610036)9588.盆口的面积为 142196，所以5881963，即平地降雨量是 3 寸 答案：311一个正三棱台的两底面的边长分别为 8 cm、18 cm，侧棱长是 13 cm，求它的全面积解：上底面周长为 c3824 cm，下底面周长 c31854 cm，斜高 h1321882212 cm，所以 S 正棱台侧12(cc)h12(2454)12468 cm2，
6、S 上底面 34 8216 3 cm2，S 下底面 34 18281 3 cm2，所以正三棱台的全面积为 S46816 381 3(46897 3)cm2.12.如图所示，已知 E、F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 A1A、CC1 的中点，求四棱锥 C1B1EDF 的体积解：法一：连结 A1C1，B1D1 交于点 O1，连结 B1D，EF，过 O1 作 O1HB1D 于 H.因为 EFA1C1，且 A1C1平面 B1EDF，所以 A1C1平面 B1EDF.所以 C1 到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1 到平面 B1EDF 的距离 因为平面 B1D1D平面
7、B1EDF，平面 B1D1D平面 B1EDFB1D，所以 O1H平面 B1EDF，即 O1H 为棱锥的高 因为B1O1HB1DD1，所以 O1HB1O1DD1B1D 66 a.所以 VC1B1EDF13S 四边形 B1EDFO1H1312EFB1DO1H1312 2a 3a 66 a16a3.法二：连结 EF，B1D.设 B1 到平面 C1EF 的距离为 h1，D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则 h1h2B1D1 2a.由题意得，VC1B1EDFVB1C1EFVD-C1EF 13SC1EF(h1h2)16a3.1已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则过圆锥的高的中点的平面截圆锥所得
8、的圆台的体积为_解析：如图，在正三角形 SAB 中，AB2，SO 3，OB1，O1O 32，圆台的体积为 V13h(r2rrr2)13 32 141211 7 324.答案：7 3242已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都等于 2，A1 在底面 ABC 上的射影为 BC的中点，则三棱柱的侧面积为_解析：如图所示，设点 D 为 BC 的中点，则 A1D平面 ABC，因为 BC平面 ABC，所以 A1DBC，因为ABC 为等边三角形，所以 ADBC，又 ADA1DD，AD平面 A1AD，A1D平面 A1AD，所以 BC平面 A1AD，因为 A1A平面 A1AD，所以 BCA1A.又
9、因为 A1AB1B，所以 BCB1B.又因为三棱柱的侧棱与底面边长都等于 2，所以四边形 BB1C1C 是正方形，其面积为 4.作 DEAB 于 E，连结 A1E，则 ABA1E，又因为 AD 2212 3，DEADBDAB 32，所以 AE AD2DE232，所以 A1E AA21AE2 72，所以 S 四边形 ABB1A1S 四边形 AA1C1C 7，所以 S 三棱柱侧2 74.答案：2 743(2016石家庄质检)已知三棱锥 S-ABC 所在顶点都在球 O 的球面上，且 SC平面 ABC，若 SCABAC1，BAC120，则球 O 的表面积为_解析：以底面三角形 ABC 作菱形 ABCD
10、，则 OD平面 ABC，又因为 SC平面 ABC，所以 ODSC，过点 D 作 DESC，垂足为 E，在直角梯形 ODCS 中，其中 OCOSr，所以可得 OD12，所以 r OD2OE2 1221 52，所以球 O 的表面积为 S4r245225.答案：54.如图，AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱，BC2.若 AD2c，且 ABBDACCD2a，其中 a、c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最大值是_解析：因为 ABBDACCD2a2cAD，所以 B、C 都在以 AD 的中点 O 为中心，以 A、D 为焦点的两个椭圆上，所以 B、C 两点在椭圆两短轴端点时，到 AD 距
11、离最大，均为 a2c2，此时BOC 为等腰三角形，且 ADOC，ADOB，所以 AD平面 OBC.取 BC 的中点 E，显然 OEBC，OEmax a2c21，所以 SBOC(max)122 a2c21 a2c21.所以 VDABC(max)VDOBCVAOBC 13ODSOBC13OASOBC 13(ODOA)SOBC132c a2c21 23c a2c21.答案：23c a2c215四面体的六条棱中，有五条棱长都等于 a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积解：(1)如图，在四面体 ABCD 中，设 ABBCCDACBDa，ADx，取 AD 的中点为 P，
12、BC 的中点为 E，连结 BP、EP、CP，得到 AD平面 BPC，所以 VA BCDVA BPCVD BPC13S BPCAP13S BPCPD13S BPCAD1312aa2x24a24 x a12（3a2x2）x2 a123a22 18a3 当且仅当x 62 a时取等号.所以该四面体的体积的最大值为18a3.(2)由(1)知，ABC 和BCD 都是边长为 a 的正三角形，ABD 和ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为 a，底边长为 62 a，所以 S表2 34 a2212 62 aa264 a2 32 a2 62 a 10a4 32 a2 15a242 3 154a2.6把边长为 a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解：由题图可知，箱底边长为 x，则箱高为 h 33 ax2(0 xa)，箱子的容积为 V(x)12x2sin 60h18ax218x3(0 x0；当 x23a，a 时，V(x)0，所以函数 V(x)在 x23a 处取得极大值，这个极大值就是函数 V(x)的最大值：V23a 18a23a21823a3 154a3.所以当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为 154a3.
