1、高三数学第二轮专题复习系列(5)- 平面向量 一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运
2、用所学知识解决实际问题的能力。三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于
3、和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变
4、换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。五、典型例题平面向量【例1】 在下列各命题中为真命题的是( )若=(x1,y1)、=(x2,y2)，则=x1y1+x2y2若A(x1,y1)、B(x2,y2)，则=若=(x1,y1)、=(x2,y2),则=0x1x2+
5、y1y2=0若=(x1,y1)、=(x2,y2)，则x1x2+y1y2=0A、 B、 C、 D、解：根据向量数量积的坐标表示；若=(x1,y1), =(x2,y2)，则=x1x2+y1y2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、说明：对于命题(3)而言，由于=0=或=或x1x2+y1y2=0，故它是一个真命题、而对于命题(4)来讲，x1x2+y1y2=0、但反过来，当x1x2+y1y
6、2=0时，可以是x1=y1=0，即=，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2=0)，所以命题(4)是个假命题、【例2】 已知=(,1), =(1, )，那么，的夹角=( )A、30 B、60 C、120 D、150解：=(,1)(1，)=2=2=2cos=【例3】 已知=(2,1), =(1,3),若存在向量使得：=4, =9，试求向量的坐标、解：设=(x,y),则由=4可得：2x+y=4；又由=9可得：x+3y=9于是有： 由(1)+2(2)得7y=14,y=2,将它代入(1)可得：x=3=(3,2)、说明：已知两向量，可以求出它们的数量积，但是反过来
7、，若已知向量及数量积，却不能确定、【例4】 求向量=(1,2)在向量=(2，2)方向上的投影、解：设向量与的夹角、有cos= =在方向上的投影=cos=()=【例5】 已知ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC边上的高AD，求及点D的坐标、解：设点D的坐标为(x,y)AD是边BC上的高，ADBC，又C、B、D三点共线，又=(x2,y1), =(6,3)=(x3,y2)解方程组，得x=,y=点D的坐标为(，)，的坐标为(，)【例6】 设向量、满足：=1，且+=(1，0)，求，、解：=1，可设=(cos,sin), =(cos,sin)、+=(cos+cos,sin+si
8、n)=(1,0)，由(1)得：cos=1cos(3)由(2)得：sin=sin(4)cos=1cos=sin=,sin=或【例7】 对于向量的集合A=(x,y)x2+y21中的任意两个向量、与两个非负实数、；求证：向量+的大小不超过+、证明：设=(x1,y1)， =(x2,y2)根据已知条件有：x21+y211,x22+y221又因为+=其中x1x2+y1y2 1所以+=+=+【例8】 已知梯形ABCD中，ABCD，CDA=DAB=90,CD=DA=AB、求证：ACBC证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1则A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)
9、=(1,1), =(1,1)=11+11=0BCAC、【例9】 已知A(0，a),B(0,b),(0ab)，在x轴的正半轴上求点C，使ACB最大，并求出最大值、解，设C(x,0)(x0)则=(x,a), =(x,b)则=x2+ab、cosACB=令t=x2+ab故cosACB=当=即t=2ab时，cosACB最大值为、当C的坐标为(,0)时，ACB最大值为arccos、【例10】 如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明(1)PA=EF (2)PAEF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，=,则A(0，1)，P(，)，E(1，)，F(，0)=(,
10、1), =(1, )(1)2=()2+(1)2=2+12=(1)2+()2=2+12=2,故PA=EF(2) =()(1)+(1)()=0 PAEF、【例11】 已知 求； 当k为何实数时,k与平行, 平行时它们是同向还是反向？解：= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , = =.k= k(1,0)(2,1)=(k2,1). 设k=(),即(k2,1)= (7,3), . 故k= 时, 它们反向平行.【例12】 已知与的夹角为,若向量与垂直, 求k.解：=21=1. 与垂直, ()= , 2 k = 5.【例13】 如果ABC的三边a、b、c满足b2 + c 2 = 5a2,BE
11、、CF分别为AC边与AB上的中线, 求证：BECF.解：, 即 BECF .【例14】 是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?解：如图所示，在正ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，满足，两两不共线，有(+)(+)=(+)(+)=(2+)(2+)=(2)(2+)=422=422=0有(+)与(+)垂直、同理证其他情况、从而，满足题意、故存在这样4个平面向量、平面向量的综合应用1利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题【例1】 已知向量满足条件，求证：是正三角形解：令O为坐标原点，可设由，即两式平方和为，由此可知的最小正角为，即与的
12、夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.【例2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，从而可求：,=. .2利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题【例3】 已知，AD为中线，求证证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，设，则，.=，从而，.3利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量【例4】 已知点是且试用解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，所以，易求，设.【例5】 如图，用表示解：以O
13、为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，.4利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例6】 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD.(1)求证：C1CBD.(2)当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明. (1)证明：设=a, =b,=c,依题意，|a|=|b|，、中两两所成夹角为，于是=ab，=c(ab)=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0,C1CBD.(2)解：若使A1C平面C1BD，只须证A1CBD，A1CDC1，由=(a+b+c)(ac)=|a|2+abbc|c|2=|a|2|c|2+|b
14、|a|cos|b|c|cos=0,得当|a|=|c|时，A1CDC1，同理可证当|a|=|c|时，A1CBD，=1时，A1C平面C1BD.【例7】 如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.(1)求的长；(2)求cos的值；(3)求证：A1BC1M.解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz.依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)|=.(2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).=(0，1，2)=10+(1)1+22=3|=(3)证明：依题意得：C1(0，0，2
15、)，M()A1BC1M.5利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.【例8】 求平面内两点间的距离公式解：设点 ， ,而点与点之间的距离为：6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.【例9】 证明:证明：在单位圆上任取两点，以为始边，以为终边的角分别为，则点坐标为点坐标为；则向量，它们的夹角为，,由向量夹角公式得：,从而得证.注：用同样的方法可证明7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.【例10】 证明柯西不等式证明：令（1） 当或时，结论显然成立；（2） 当且时，令为的夹角，则 .
16、又 （当且仅当时等号成立） .（当且仅当时等号成立）【例11】 求的最值解：原函数可变为，所以只须求的最值即可，构造，那么.故.【例12】 三角形ABC中，A(5，1)、B(1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线AM的长；(2)CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值.解：(1)点M的坐标为xM=D点分的比为2.xD=(3)ABC是与的夹角，而=(6，8），=(2，5）.解斜三角形【例1】 已知ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B.，求cos的值.解法一：由题设条件知B=60，A+C=120.设=，则AC=2，可得A=60+，C=60，依题设条件有整理得4cos2+2co
17、s3=0(M)(2cos)(2cos+3)=0，2cos+30，2cos=0.从而得cos.解法二：由题设条件知B=60，A+C=120，把式化为cosA+cosC=2cosAcosC ，利用和差化积及积化和差公式，式可化为 ， 将cos=cos60=，cos(A+C)=代入式得：将cos(AC)=2cos2()1代入 ：4cos2()+2cos3=0，(*)， 【例2】 在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30东，俯角为60的B处，到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为30的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后
18、，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？解：(1)在RtPAB中，APB=60 PA=1，AB= (千米)在RtPAC中，APC=30，AC= (千米)在ACB中，CAB=30+60=90(2)DAC=9060=30sinDCA=sin(180ACB)=sinACB=sinCDA=sin(ACB30)=sinACBcos30cosACBsin30.在ACD中，据正弦定理得，答：此时船距岛A为千米.【例3】 已知ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB().(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值
19、域.解：(1)A+C=2B，B=60，A+C=1200|60，x=cos(，1又4x230，x，定义域为(，)(，1.(2)设x1x2，f(x2)f(x1)=，若x1，x2()，则4x1230，4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1)，若x1，x2(，1，则4x1230.4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0.即f(x2)f(x1)，f(x)在(,)和(，1上都是减函数.(3)由(2)知，f(x)f()=或f(x)f(1)=2.故f(x)的值域为(，)2，+.【例4】 在中，角所对的边分别为若，求角解：由正弦定理，将已
20、知等式中的边转化为角可得.因为，故有， .又 , ,即，由，可解得【例5】 在ABC中，已知.（1）若任意交换的位置，的值是否会发生变化?试证明你的结论；（2）求的最大值.解：（1） ， 任意交换的位置，的值不会发生变化（2）解法1：将看作是关于的二次函数.所以，当，且取到最大值1时，也即时，取得最大值解法2：用调整的方法, 也即对于每个固定的的值，去调整，求出取得最大值时所满足的条件对于，如果固定，则可将看作是关于的一次或常数函数为了讨论其最大值，显然应该考虑的符号，并由此展开讨论若，则，所以，所以，所以，只需考虑的情形此时是关于的常数函数或单调递增的一次函数，因此，最大值必可在（即）时取得
21、所以，等号当且仅当时取得六、专题练习【平面向量练习】一、选择题：1、下列各式中正确的是（ C ） （1）(a) b=(a b)=a (b), （2）|ab|=|a|b|, （3）(a b) c=a (b c), （4）(a+b) c= ac+bc A（1）（3） B（2）（4） C（1）（4） D以上都不对.2、在ABC中,若(+)()=0,则ABC为（ C ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D无法确定3、若|a|=|b|=|ab|,则b与a+b的夹角为（ A ） A30 B60 C150 D1204、已知|a|=1,|b|= ,且(ab)和a垂直,则a与b的夹角为（ D ） A60
22、 B30 C135 D455、若 + = 0,则ABC为（ A ）A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形6、设|a|= 4,|b|= 3, 夹角为60, 则|a+b|等于（ C ） A37 B13 C D 7、己知|a|=1,|b|=2, a与b的夹角为600,c =3a+b, d =ab ,若cd,则实数的值为（ C ） A B C D 8、设 a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线,则（ D ） (ab)c(ca)b=0 |a| |b| |ab| (bc)a(ca)b不与c垂直 (3a+2b)(3a2b)= 9|a|24|b|2 其中真命题是（ ） A B C D二
23、、填空题：9、已知e是单位向量,求满足ae且ae=18的向量a=_.18e10、设a=(m+1)i3j, b=i+(m1)j, (a+b) (ab), 则m=_.211、|a|=5, |b|=3,|ab|=7,则a、b的夹角为_. 12012、 a与d=b关系为_. ab三、解答题：13、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求： ab ；(2ab) (a+3b)解：|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2，=. （2ab）（a+3b）=2a2+5ab3b2=2|a|2+5ab3|b|2=242+5（10）352=93. 14、四边形ABCD中,= a
24、, = b,= c, = d,且ab=bc=cd=d a，判断四边形ABCD是什么图形？分析：在四边形ABCD中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件，对a+b=（c+d），两边平方后，用ab=bc=dc代入，从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状.解：a+b+c+d=0，a+b=（c+d），（a+b）2=（c+d）2，即|a|2+2ab+|b|2=|c|2+2cd+|d|2，ab=cd，|a|2+|b|2=|c|2+|d|2同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2，两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2，即|b|=|d|，|a|=|c|. ABCD为平行四边形. 又ab
25、=bc，即b（ac）=0，而a=c，b（2a）=0 ab，四边形ABCD为矩形.15、已知：|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60,问当且仅当k为何值时,向量kab与 a+2b垂直？解：. 【平面向量的综合应用练习】一、选择题1.设A、B、C、D四点坐标依次是(1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2.已知ABC中，=a，=b，ab0，SABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( )A.30B.150C.150D.30或150二、填空题3.将二次函数y=x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x5
26、的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_.4.等腰ABC和等腰RtABD有公共的底边AB，它们所在的平面成60角，若AB=16 cm,AC=17 cm,则CD=_.三、解答题5.如图，在ABC中，设=a， =b， =c, =a,(01), =b(01),试用向量a，b表示c.6.正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a.(1)建立适当的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标；(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角.7.已知两点M(1，0)，N(1，0)，且点P使成公差小于零的等差数列.(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为与的夹角，求tan.8.已
27、知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.(1)用向量法证明E、F、G、H四点共面；(2)用向量法证明：BD平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有.参考答案一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），=，又线段AB与线段DC无公共点，ABDC且|AB|=|DC|，ABCD是平行四边形，又|=， =(5，3），|=，|,ABCD不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），14+21=60,不垂直于，ABCD也不是矩形，故选D.答案：D2.解析：35sin得sin=,则=30或=150.又ab0,=150.答案：C二、3.(2,0) 4.
28、13 cm三、5.解：与共线，=m=m()=m(ba),=+=a+m(ba)=(1m)a+mb又与共线，=n=n()=n(ab),=+=b+n(ab)=na+(1n)b由，得(1m）a+mb=na+(1n)b.a与b不共线，解方程组得：m=代入式得c=(1m)a+mb=(1)a+(1)b.6.解：(1)以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(a).(2)取A1B1的中点M，于是有M(0，a），连AM，MC1，有=(a,0,0
29、）,且=(0，a,0）,=(0,0a)由于=0，=0，所以MC1面ABB1A1，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.=所以所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.7.解：(1)设P(x,y）,由M(1，0），N(1，0）得， =(1x,y）, =(1x,y), =(2,0),=2(1+x), =x2+y21, =2(1x).于是，是公差小于零的等差数列，等价于所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.(2)点P的坐标为(x0,y0)8.证明：(1）连结BG，则由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，(其中=）(2）因为.所以EHBD，又EH面EF
30、GH，BD面EFGH所以BD平面EFGH.(3）连OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG由(2）知，同理，所以，EHFG,所以EG、FH交于一点M且被M平分，所以.【解斜三角形练习】一、选择题1.给出四个命题：(1)若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C2，则ABC为钝角三角形；(4)若cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1，则ABC为正三角形.以上正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题2.在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为_.3.在ABC中，A为
31、最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，则cos2(B+C)=_.三、解答题4.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.5.如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？6.在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，.(1)求角A的度数；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.7.在ABC中，A、B、C所对的
32、边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又AC=，试求A、B、C的值.8.在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求ADAB的值.参考答案一、1.解析：其中(3）(4）正确.答案： B二、2.解析：A+B+C=，A+C=2B，答案：3.解析：A为最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180.cos(2A+C)=，sin(2A+C)=.C为最大角，B为锐角，又sinB=.故cosB=.即sin(A+C)=，cos(A+C)=.cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)=，cos2(B+C
33、)=2cos2(B+C)1=.答案：三、4.解：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积：S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCDsinCA+C=180，sinA=sinC故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA在CDB中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC，cosC=cosA，64cosA=32，cosA=，又0A180，A=120故S=16sin120=8.5.解：R=rcos，由此得：，7.解：由a、b、3
34、c成等比数列，得：b2=3acsin2B=3sinCsinA=3()cos(A+C)cos(AC)B=(A+C).sin2(A+C)=cos(A+C)cos即1cos2(A+C)=cos(A+C)，解得cos(A+C)=.0A+C，A+C=.又AC=A=，B=，C=. 8.解：按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设BAP=，DPA=，BDP=2，再设AB=a，AD=x，DP=x.在ABC中，APB=180ABPBAP=120，由正弦定理知：.BP=在PBD中，, 060，6060+2180，当60+2=90，即=15时，sin(60+2)=1，此时x取得最小值a，即AD最小，ADDB=23.
