1、2020级高三下学期开学考试数学试卷（时间：120分钟，分值：150分）一单选题（共8题，每题5分，共40分.）1.已知集合，则中元素的个数为（ ）A.3 B.2 C.1 D.02.已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）A. B. C. D.3.已知的夹角为，则在上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.已知函数的局部图象如图所示，则的解析式可能为（ ）A. B.C. D.5.已知正四面体的内切球的表面积为，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为（ ）A. B. C. D.6.已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸
2、出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量X表示摸球8次后的总分值，则（ ）A.16 B. C. D.87.已知，则的大小关系为（ ）A. B.C. D.8.已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，过点的直线与椭圆交于，且满足，设和的中点分别为，若四边形为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.二多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分.）9.投掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“朝上一面点数为奇数”，事件B=“朝上一面点数不超过2，则下列结论正确的为（ ）A.事件互斥 B.事件相互独立C. D.10.已知数
3、列为等比数列，首项，公比，则下列结论正确的为（ ）A.的最大项为 B.的最小项为C.为递增数列 D.为递增数列11.已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，则下列结论正确的为（ ）A.圆锥的侧面积为B.的取值范围为C.若为线段上的动点，则D.过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为12.已知是的导函数，则下列结论正确的为（ ）A.与的图象关于直线对称B.与有相同的最大值C.将图象上所有的点向右平移个单位长度可得的图象D.当时，与都在区间上单调递增三、填空题（共4题，每题5分，共20分.）13.的展开式中，的系数为_.（用数字作答）14.某省示范性高中安排5名教师去
4、三所乡村中学支教，每所中学至少去1人，因工作需要，其中的教师甲不能去中学，则分配方案的种数为_.15.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率为，动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，若恒成立，则双曲线的渐近线方程为_.16.已知，若过点的动直线与有三个不同交点，自左向右分别为，则线段的中点纵坐标的取值范围为_.四解答题（共6题，17题10分，其余各题12分，共70分.）17.（10分）在中，ab，c分别是角ABC的对边，且.（1）求角A的大小；（2）若是方程的一个根，求的值.18.（12分）某中药企业计划种植两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材的亩产量约为300公斤，其收购价格处于
5、上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份20182019201020212022年份编号12345单价（元/公斤）1820232529药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：（1）若药材的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系；请求出关于的回归直线方程，并估计2024年药材A的单价；（2）利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；（3）若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2024年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.参考公式：回归直线方程，其中.19.（12分）已知数列的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数
6、列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.20.（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是上的点.（1）若平面，求的值：（2）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.21.（12分）设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，两点，点A在第二象限，当在上时，A与的横坐标和为.（1）求抛物线的方程；（2）过作斜率为的直线与轴交于点，与直线交于点（为坐标原点），求.22.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.数学参考答案一单选题1.C 2.A 3.C 4.D 5.B 6.A 7.B 8.D二多选题9.BD 10
7、.ABC 11.AC 12.BC三填空题13.30 14.100 15. 16.四解答题17.（1），即，又三角形内角，；（2）等价于，解得或；，.18.（1），故回归直线方程为，当时，从而2024年药材A的单价预计为元/公斤.（2）解：组距为20，自左向右各组的频率依次为从而B药材的平均亩产量为公斤（3）解：预计2024年药材A每亩产值为元，药材B每亩产值为元元，所以药材A的每亩产值更高，应该种植药材A.19.（1）当时，即当时，由，故，得.易见不符合该式，故（2）由，易知递增；当时，.从而.又由，故，解得或即实数的取值范围为或20.（1）连接交于点，连接由平面，平面平面，所以.由题可知，故
8、.（2）令为中点，易知两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系令，则易知面的法向量为由，令面的法向量为，则即，令，故，则依题意，解得.于是，设直线与平面所成角为，则21.解：（1）设，由题，由，则直线斜率为，又，则，从而有，所以，从而抛物线的方程为.（2）由题意直线斜率存在，设，由得，则，解得或，又点在第二象限，所以，.设，由题，.联立解得，将，代入上式得，即.22.（1）解：函数的定义域为，且.当时，因为，则，此时函数的单调递减区间为；当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）解：，设，其中，则，设，则，当时，且等号不同时成立，则恒成立，当时，则恒成立，则在上单调递增，又因为，所以，存在使得，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：由（1）中函数的单调性可知，当时，在上单调递增，当时，当时，所以，此时，不合乎题意；当时，且当时，此时函数的值域为，即.（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意；（ii）当时，即当时，取，结合图象可知，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.
