1、56 函数yA sin(x)(二)基础预习初探问题1.由图象求三角函数yA sin(x)的解析式中参数的物理意义(1)yA sin(x)的解析式中字母值的确定：根据函数yA sin(x)(A0，0)的部分图象如何求A?提示：根据图象的最高点(或最低点)确定A.(2)根据函数yA sin(x)(A0，0)的部分图象如何确定？提示：因为T2，所以常通过周期来确定.(3)物理中，简谐运动的图象就是函数yA sin(x)(A0，0)，x0，)的图象，其中A0，0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别与函数式中哪些量对应吗？提示：函数yA sin(x)，A0，0中参
2、数的物理意义问题2.函数yA sin(x)(A0，0)的性质(1)若函数yA sin(x)是奇函数，则应满足什么条件？提示：因为yA sin(x)是奇函数，所以f(0)0，因此sin 0，所以k，kZ.(2)若函数yA sin(x)(A0，0)为偶函数，则应满足什么条件？提示：因为yA sin(x)为偶函数，所以f(0)A或f(0)A，即A sin A或Asin A，所以有k2，kZ.(3)函数yA sin(x)(A0，0)的对称中心坐标是什么？提示：设对称中心坐标为(x0，0)，由f(x0)0，即sin(x0)0，所以x0k，kZ.故对称中心坐标为k，0.(4)函数yA sin(x)(A0，
3、0)的对称轴方程是什么？提示：设对称轴方程为xx0，则f(x0)A或f(x0)A，即A sin(x0)A，故x0k2，kZ.即x0k 22，kZ.【概念生成】1yA sin(x)，x(0，)(A0，0)中各参数的物理意义名称参数物理意义振幅_它是做简谐运动的物体离开平衡位置的_周期T_它是做简谐运动的物体往复运动_所需要的时间频率f_它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数相位_其中x0时的相位_称为初相A最大距离2一次1T2x2.yA sin(x)(A0，0)的有关性质名称性质定义域_值域_周期性T_对称性对称中心2RA，Ak，0名称性质对称轴_奇偶性当k(kZ)时是_函数；当k(kZ
4、)时是_函数单调性通过整体代换可求出其单调区间xk 22(kZ)2奇 偶 核心互动探究探究点一 由三角函数图象求函数解析式【典例1】如图所示为函数yA sin(x)(|0，0)的图象确定其解析式的步骤(1)求A，一般由图象的最高点、最低点确定或代入特殊点的坐标通过解方程求出(2)求，确定函数周期T，则2T.(3)求，求的值时常把特殊点代入，解简单的三角方程，再结合图形确定【拓展】由函数yA sin(x)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，的值(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T 2|，所以往往通过求周期T来确定，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点
5、与最低点所对应的横坐标之间的距离为 T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入转化求解五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点，0作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为x32；“第五点”为x2.【定向训练】1已知函数f(x)2sin(x)的大致图象如图，则f(x)的最小正周期为()A43B109C1110D1615【解析】选A.由函数f(x)2sin(x)的大致图象知，f(0)2s
6、in 3，所以sin 32，应取23，又f892sin 89 230，所以sin 89 230，应取89 23 2，解得32，所以f(x)的最小正周期为T2 23243.2函数f(x)A sin(x)(A0，0，|0，0，02的最小值是5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4，且图象经过点0，52，求这个函数的解析式【解析】由题意知A5，T2 4，所以T2 2，所以4，所以y5sin(4x).又因为图象经过点0，52，所以52 5sin，即sin 12，所以6 2k(kZ)或56 2k(kZ)，又因为00)的相邻两个零点之间的距离为 6，则_【思维导引】利用三角函数的周期性和对称性确定参
7、数的值【解析】(1)选A.由题意得函数的最小正周期T254 42，因为22，所以1，所以f(x)sin(x)，所以4 2 k，kZ.所以4 k，kZ.因为00)的相邻两个零点之间的距离为 6，所以T2 63，又2 3，得6.答案：6【类题通法】三角函数对称轴、对称中心的求法对称轴对称中心yA sin(x)令xk2(kZ)令xk(kZ)求对称中心横坐标yA cos(x)令xk(kZ)令xk2(kZ)求对称中心横坐标yA tan(x)无令xk2(kZ)求对称中心横坐标【定向训练】已知函数f(x)2sin(x)对任意的xR，都有f(3 x)f(x)，若函数g(x)cos(x)1，则g6的值是()A0
8、 B1 C2 D12【解析】选B.由f(3x)f(x)得函数f(x)2sin(x)的图象的一条对称轴为x6，所以f62，即2sin 62，所以cos 60，则g6cos(6)11.探究点三 三角函数性质的综合应用【典例3】某同学用“五点法”画函数f(x)A sin(x)0，|2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x02322x356A sin(x)040(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式(2)若函数f(x)的值域为B，集合Cx|m1xm3且BCB，求实数m的取值范围【思维导引】(1)由题意根据五点法作图，将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式
9、(2)由题意可得CB，可得m14，m34，由此求得实数m的取值范围【解析】(1)根据表中已知数据，解得A4，2，6，函数解析式为f(x)4sin 2x6.补全数据如表：x02322x123712561312A sin(x)04040(2)因为f(x)4sin 2x64，4，所以B4，4，又BCB，所以CB.依题意m14，m343m1，所以实数m的取值范围是3，1.【延伸探究】在本例中，已知函数f(x)，x0，2，如何确定函数f(x)m的零点的个数？若函数f(x)m有两个零点x1，x2，求证：x1x2为定值【证明】函数f(x)m的零点即方程f(x)m的根，亦即直线ym与曲线yf(x)，x0，2的
10、公共点的横坐标画出图象，如图，容易得到：当m4时，函数f(x)m有0个零点；当2m2或m4时，函数f(x)m有1个零点；当2m0，0)单调区间的方法采用“换元法”整体代换，将x看作一个整体，可令“zx”，即通过求yA sin z的单调区间而求出函数的单调区间若0)，对于任意xR，都有f(x)f(x)0，且f(x)在(0，)有且只有5个零点，则()A112 B92 C72 D52【解题指南】由题意可得f(x)的图象关于点 2，0对称，可得 2 4 k，kZ，再根据f(x)在(0，)有且只有5个零点，则可得50)，对于任意xR，都有f(x)f(x)0，所以f(x)的图象关于点2，0对称，所以2 4
11、 k，kZ，即2k12，kZ.因为f(x)在(0，)有且只有5个零点，则54 6，求得1940，0)的部分图象如图所示，f223，则f(0)()A.23B23C12D12【解析】选B.由图象可知所求函数的周期为T21112 71223，故2233.将1112，0代入解析式，得A cos 31112 0，即cos 114 0，所以1142 2k，kZ，所以94 2k，kZ.令4，代入解析式得f(x)A cos 3x4.又因为f223，所以f2A sin 4 22A23，所以A232.所以f(0)232 cos 4232 cos 4 23.3函数y 2 sin x 2 cos x，xR的最大值为_【解析】函数y 2 sin x 2 cos x2sin x4的最大值为2.答案：2
