1、第3讲简单的三角恒等变换1两角和与差的正弦、余弦和正切公式2二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式名公式二倍角的正弦sin22sincos二倍角的余弦cos2cos2sin212sin22cos21二倍角的正切tan23半角公式sin ,cos ,tan .1公式的常用变式:tantantan()(1tantan);tantan11.2降幂公式:sin2;cos2;sincossin2.3升幂公式:1cos2cos2;1cos2sin2;1sin2;1sin2.4常用拆角、拼角技巧:例如,2()();()();(2)();()();等5辅助角公式:一般地,函数f()asinbcos(a,b为常数)
2、可以化为f()sin()或f()cos().1sin20cos10cos160sin10()A BC D答案D解析原式sin20cos10cos20sin10sin(2010)sin30.2(2021全国乙卷)cos2cos2()A BC D答案D解析cos2cos2cos2cos2cos2sin2cos,故选D.3(多选)化简:sinxcosx()Asin BsinCcos Dcos答案AC解析sinxcosxsincoscos.故选AC4(2020全国卷)若sinx,则cos2x_.答案解析cos2x12sin2x1221.5设sin2sin,则tan(2)_.答案解析因为sin2sin,
3、所以cos,因此tan(2)tantan.6(2021海口高考调研考试)已知,且sin,则tan的值为_.答案解析因为,且sin,所以cos,tan.所以tan.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考向一公式的直接应用例1(1)若cos,是第三象限角,则sin()A BC D答案B解析是第三象限角,sin0,且sin,因此sinsincoscossin,故选B.(2)(2021武汉模拟)已知角,的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,若角,的终边分别与单位圆交于点A,B,其中x10x2,则cos(2)()A BC D答案C解析由题意可知sin,sin,由x10bc Bbac
4、Ccab Dacb答案D解析由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式,可得acos50cos127cos40cos37cos50cos127sin50sin127cos(50127)cos(77)cos77sin13,b(sin56cos56)sin56cos56sin(5645)sin11,ccos239sin239cos78sin12.因为函数ysinx,x为增函数,所以sin13sin12sin11,所以acb.考向三角的变换例3(1)(2021齐齐哈尔二模)已知sin,则cos()A B C D答案B解析因为sin,则coscoscos12sin212.故选B.(2)(2021黑龙江大庆实
5、验中学训练)已知,sin(),sin,则cos_.答案解析由题意知,sin(),所以cos().因为,sin,所以cos.则coscoscos()cossin()sin.1求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(2)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式2常见的配角技巧:2()(),(),等5.(2022江苏南通期末)已知,cos(),sin(),则sin2等于()A B C D答案B解析因为,所以0,0,2cossin,cos
6、0,结合sin2cos21,得cos.4(2022山东日照期末)已知sin,tan(),则tan()的值为()A B C D答案A解析,cos,tan,又tan(),tan,tan().5(2021威海一模)已知sin()coscos()sin,为第三象限角,则cos()A BC D答案A解析sin()coscos()sinsin()sin,sin,又为第三象限角,则cos,coscoscossinsin.故选A6(2021江苏镇江联考)已知sin(15),则cos(30)()A BC或 D或答案D解析sin(15),cos(15)或.当cos(15)时,cos(30)cos(15)45cos
7、(15)cos45sin(15)sin45;当cos(15)时,cos(30)cos(15)45cos(15)cos45sin(15)sin45,cos(30)或,故选D.7(2021湖南长沙一中调研)设为锐角,若cos,则sin的值为()A B C D答案B解析为锐角,即0,0,C正确,D错误故选AC12(2021河北张家口模拟)已知tan()tantan,其中(kZ)且(mZ),则下列结论一定正确的是()Asin()0Bcos()1Csin2sin21Dsin2cos21答案AD解析tan()tantan,tantan0或1tantan1,n(nZ)或者k(kZ)或m(mZ),又(kZ),
8、(mZ),n(nZ),且(kZ),(mZ)对于A,sin()sin(n)0(nZ),故A正确;对于B,由于cos()cos(n)1(nZ),故B错误;对于C,sin2sin2sin2sin2(nZ),当n为偶数时,sin2sin2sin2sin2sin2sin22sin21,故C错误;对于D,sin2cos2sin2(n)cos2sin2cos21(nZ),故D正确三、填空题13(2021泰安三模)已知2sin2cossin,且,则cos(2)_.答案解析由2sin2cos,得4sincoscos,因为,所以sin,所以cossin,所以,所以cos(2)sin.14(2022山东德州模拟)已
9、知cossin,则sin_.答案解析由cossincossinsincossinsin,得sin.sinsinsin.15(2021甘肃、青海、宁夏联考)若tan(2)2,tan3,则tan()_,tan_.答案1解析tan(2)2,tan3,tan()tan(2)1.tantan().16(2021南京模拟)若sin160tan20,则实数的值为_.答案4解析由sin160tan20,得sin20,所以sin402sin202cos20,即sin402cos202sin204sin(6020)4sin40,所以4.四、解答题17已知,sin.(1)求sin的值;(2)求cos的值解(1)因为,sin,所以cos.故sinsincoscossin.(2)由(1)知sin22sincos2,cos212sin2122,所以coscoscos2sinsin2.18(2022辽宁朝阳月考)已知tan2.(1)求tan的值;(2)求的值解(1)tan.(2)1.19已知0,cos,sin().(1)求sin2的值;(2)求cos的值解(1)解法一:因为coscoscossinsincossin,所以cossin,所以1sin2,所以sin2.解法二:sin2cos2cos21.(2)因为0,所以,0,cos()0,所以sin,cos().所以coscoscos()cossin()sin.