1、第3讲简单的三角恒等变换1两角和与差的正弦、余弦和正切公式2二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式名公式二倍角的正弦sin22sincos二倍角的余弦cos2cos2sin212sin22cos21二倍角的正切tan23半角公式sin ，cos ，tan .1公式的常用变式：tantantan()(1tantan)；tantan11.2降幂公式：sin2；cos2；sincossin2.3升幂公式：1cos2cos2；1cos2sin2；1sin2；1sin2.4常用拆角、拼角技巧：例如，2()()；()()；(2)()；()()；等5辅助角公式：一般地，函数f()asinbcos(a，b为常数)
2、可以化为f()sin()或f()cos().1sin20cos10cos160sin10()A BC D答案D解析原式sin20cos10cos20sin10sin(2010)sin30.2(2021全国乙卷)cos2cos2()A BC D答案D解析cos2cos2cos2cos2cos2sin2cos，故选D.3(多选)化简：sinxcosx()Asin BsinCcos Dcos答案AC解析sinxcosxsincoscos.故选AC4(2020全国卷)若sinx，则cos2x_.答案解析cos2x12sin2x1221.5设sin2sin，则tan(2)_.答案解析因为sin2sin，
3、所以cos，因此tan(2)tantan.6(2021海口高考调研考试)已知，且sin，则tan的值为_.答案解析因为，且sin，所以cos，tan.所以tan.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考向一公式的直接应用例1(1)若cos，是第三象限角，则sin()A BC D答案B解析是第三象限角，sin0，且sin，因此sinsincoscossin，故选B.(2)(2021武汉模拟)已知角，的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角，的终边分别与单位圆交于点A，B，其中x10x2，则cos(2)()A BC D答案C解析由题意可知sin，sin，由x10bc Bbac
4、Ccab Dacb答案D解析由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得acos50cos127cos40cos37cos50cos127sin50sin127cos(50127)cos(77)cos77sin13，b(sin56cos56)sin56cos56sin(5645)sin11，ccos239sin239cos78sin12.因为函数ysinx，x为增函数，所以sin13sin12sin11，所以acb.考向三角的变换例3(1)(2021齐齐哈尔二模)已知sin，则cos()A B C D答案B解析因为sin，则coscoscos12sin212.故选B.(2)(2021黑龙江大庆实
5、验中学训练)已知，sin()，sin，则cos_.答案解析由题意知，sin()，所以cos().因为，sin，所以cos.则coscoscos()cossin()sin.1求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(2)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式2常见的配角技巧：2()()，()，等5.(2022江苏南通期末)已知，cos()，sin()，则sin2等于()A B C D答案B解析因为，所以0，0,2cossin，cos
6、0，结合sin2cos21，得cos.4(2022山东日照期末)已知sin，tan()，则tan()的值为()A B C D答案A解析，cos，tan，又tan()，tan，tan().5(2021威海一模)已知sin()coscos()sin，为第三象限角，则cos()A BC D答案A解析sin()coscos()sinsin()sin，sin，又为第三象限角，则cos，coscoscossinsin.故选A6(2021江苏镇江联考)已知sin(15)，则cos(30)()A BC或 D或答案D解析sin(15)，cos(15)或.当cos(15)时，cos(30)cos(15)45cos
7、(15)cos45sin(15)sin45；当cos(15)时，cos(30)cos(15)45cos(15)cos45sin(15)sin45，cos(30)或，故选D.7(2021湖南长沙一中调研)设为锐角，若cos，则sin的值为()A B C D答案B解析为锐角，即0，0，C正确，D错误故选AC12(2021河北张家口模拟)已知tan()tantan，其中(kZ)且(mZ)，则下列结论一定正确的是()Asin()0Bcos()1Csin2sin21Dsin2cos21答案AD解析tan()tantan，tantan0或1tantan1，n(nZ)或者k(kZ)或m(mZ)，又(kZ)，
8、(mZ)，n(nZ)，且(kZ)，(mZ)对于A，sin()sin(n)0(nZ)，故A正确；对于B，由于cos()cos(n)1(nZ)，故B错误；对于C，sin2sin2sin2sin2(nZ)，当n为偶数时，sin2sin2sin2sin2sin2sin22sin21，故C错误；对于D，sin2cos2sin2(n)cos2sin2cos21(nZ)，故D正确三、填空题13(2021泰安三模)已知2sin2cossin，且，则cos(2)_.答案解析由2sin2cos，得4sincoscos，因为，所以sin，所以cossin，所以，所以cos(2)sin.14(2022山东德州模拟)已
9、知cossin，则sin_.答案解析由cossincossinsincossinsin，得sin.sinsinsin.15(2021甘肃、青海、宁夏联考)若tan(2)2，tan3，则tan()_，tan_.答案1解析tan(2)2，tan3，tan()tan(2)1.tantan().16(2021南京模拟)若sin160tan20，则实数的值为_.答案4解析由sin160tan20，得sin20，所以sin402sin202cos20，即sin402cos202sin204sin(6020)4sin40，所以4.四、解答题17已知，sin.(1)求sin的值；(2)求cos的值解(1)因为，sin，所以cos.故sinsincoscossin.(2)由(1)知sin22sincos2，cos212sin2122，所以coscoscos2sinsin2.18(2022辽宁朝阳月考)已知tan2.(1)求tan的值；(2)求的值解(1)tan.(2)1.19已知0，cos，sin().(1)求sin2的值；(2)求cos的值解(1)解法一：因为coscoscossinsincossin，所以cossin，所以1sin2，所以sin2.解法二：sin2cos2cos21.(2)因为0，所以，0，cos()0，所以sin，cos().所以coscoscos()cossin()sin.