1、高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1函数在区间上的平均变化率为（）2345答案：2已知直线是的切线，则的值为（）答案：3如果1N的力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm（在弹性限度内）所耗费的功为（）0.18J0.26J0.12J0.28J答案：4方程有实根，且，则（）答案：5内有任意三点不共线的2002个点，加上三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（）4005400240074000答案：6数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（）891011答案：7在证明为增函数的过程中，有下列四个命题：增函数的
2、定义是大前提；增函数的定义是小前提；函数满足增函数的定义是大前提；函数满足增函数的定义是大前提其中正确的命题是（）答案：8若，则复数表示的点在（）第一象限第二象限第三象限第四象限答案：9一圆的面积以速度增加，那么当圆半径时，其半径的增加速率为（）cm/s cm/s cm/s cm/s答案：10用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（）增加了一项增加了两项增加了两项，又减少了一项增加了一项，又减少了一项答案：11在下列各函数中，值域不是的函数共有（）（1）（2）（3）（4）1个2个3个4个答案：12如图是函数的大致图象，则等于（）答案：二、填空题13函数在闭区间上的最大值与最
3、小值分别为答案：3，14若，且，则的值为答案：15用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是答案：16物体的运动速度与时间之间的关系为（的单位是m/s，的单位是s），物体的运动速度与时间之间的关系为，两个物体在相距为405m的同一直线上同时相向运动则它们相遇时，物体的运动路程为答案：72m三、解答题17已知复数，满足，且为纯虚数，求证：为实数证明：由，得，即，那么，由于，为纯虚数，可设，所以，从而，故为实数18用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出
4、它的最大容积解：设该容器底面矩形的短边长为cm，则另一边长为m，此容器的高为，于是，此容器的容积为：，其中，即，得，（舍去），因为，在内只有一个极值点，且时，函数递增；时，函数递减；所以，当时，函数有最大值，即当高为1.2m时，长方体容器的空积最大，最大容积为19如图所示，已知直线与不共面，直线，直线，又平面，平面，平面，求证：三点不共线证明：用反证法，假设三点共线于直线，与可确定一个平面，又，同理，直线，共面，与，不共面矛盾所以三点不共线20已知函数在上是减函数，求的取值范围解：求函数的导数：（1）当时，是减函数且所以，当时，由，知是减函数；（2）当时，由函数在上的单调性，可知当时，是减函数
5、；（3）当时，在上存在使的区间，所以，当时，函数不是减函数综上，所求的取值范围是21若，观察下列不等式：，请你猜测满足的不等式，并用数学归纳法加以证明解：满足的不等式为，证明如下：1当时，结论成立；2假设当时，结论成立，即显然，当时，结论成立22设曲线过点，（1）用表示曲线与轴所围成的图形面积；（2）求的最小值解：（1）曲线过点及，故有，于是且，令，即，得，记，由曲线关于轴对称，有（2），令，则令，得或（舍去）又时，；时，所以，当时，有最小值，此时有最小值高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
6、1函数的导数为 （ ） （A） （B） （C） （D）2下列说法正确的是 （ ） （A）当时，为的极大值（B）当时，为的极小值（C）当时，为的极值（D）当为的极值时， 3如果是的共轭复数，则对应的向量的模是 （ ） （A）1 （B） （C） （D）54若函数的递减区间为，则的取值范围是 （ ）（A） （B） （C） （D）5下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是 （ ） (1);(2) ; (3);(4) (A) (B) (C)0 (D)6由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，叫 （ ） （A）合情推理 （B）演绎推理 （C）类比推理 （D）归纳推理7
7、复数与的积是实数的充要条件是 （ ） （A） （B） （C） （D）8已知函数，那么是 （ ） （A）仅有最小值的奇函数 （B）既有最大值又有最小值的偶函数（C）仅有最大值的偶函数 （D）非奇非偶函数9用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ） （A）12 （B）10 （C）8 （D）610用数学归纳法证明：，在验证n1时，左端计算所得的式子是 （ ） （A）1 （B）1+a （C） （D）11给出下列四个命题：（1）任一两个复数都不能比较大小；（2）为实数
8、为实数（3）虚轴上的点都表示纯虚数；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的。其中正确命题的个数是 （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）412用数学归纳法证明：，由到，不等式左端变化的是 （ ） （A）增加一项 （B）增加和两项（C）增加和两项，同时减少一项（D）增加一项，同时减少一项二、填空题：（每小题4分，四小题共16分）13已知（为常数），则 ；14在数列中， ，则 ；15已知：ABC中，ADBC于D,三边分别是a，b，c，则有；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体P-ABC中，ABC，PAB，PBC，PCA的面积分别是，二面角的度数分别是，则 ；16对于函数定义
9、域中任意的()，有如下结论： （1）；（2）；（3）；（4）；试分别写出对应上述一个结论成立的四个函数：适合结论（1） ；适合结论（2） ；适合结论（3） ；适合结论（4） 。三、解答题（1719，21题，每题12分；20，22题，每题14分；共76分）17求过点（1，2）且与曲线相切的直线方程。18在ABC中，角A，B，C的对边分别是,且。（1）求的值；（2）若，求的最大值。19半径为的球的内接圆柱，问圆柱的底半径与高多大，才能使圆柱的体积最大。20在数列中，且前n项的算术平均数等于第n项的2n1倍（）。（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明。xy21题21求由抛物线
10、与它在点A（0，3）和点B(3，0)的切线所围成的区域的面积。22已知函数，。 （1） 若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围； （2）当时，求函数的取值范围。以下为参考答案高中新课标数学选修（2-2）综合测试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1解析： 故选B2反例：，但=0既不是极大值也不是极小值， 故选D3解析：，所以， 故选D4解析：，令，则，当时，不合题意；当时， 故选A5解析：故选A6解析：概念题 选D7解析： 选C8解析： 故选B9解析：设小正方形的边长为x厘米，则令 故选C10解析：n1时，左端最后一
11、项为，所以左端的式子是 故选C11解析：（1）两个实数可以比较大小，（2）为实数，可以为纯虚数；（3）原点，（4）正确， 故选A12解析：当时，左端=；当时，左端= 显然选C二、填空题：（每小题4分，四小题共16分）13解析：，故填 ；14解析：，所以 也可以用归纳法。 故填15解析：作面ABC于D,连结DA,DB，可得，同理可得：，所以，故填16解析：（1）；（2）；（3）（4）三、解答题（1719，21题，每题12分；20，22题，每题14分；共76分）17解析：因为点（1，2）不在曲线上，所以设所求切线与的切点为，则，所以切线方程为，代入，即，得，所以，即，或所求的切线方程为或18解析：
12、（1）（2）由余弦定理得，所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为。19解析：设球的内接圆柱的底半径为，则其高为，所以圆柱的体积是，+0极大值令，则， ，列表：所以函数在时取得最大值，此时，即当圆柱的底半径为，高为时，圆柱的体积最大，是。20解析：（1）由已知，分别取，得：， ， 所以数列的前5项是：， （2）由（1）中的分析可以猜想。下面用数学归纳法证明：当n=1时，公式显然成立。假设当时成立，即，那么由已知，得，即 所以即，又归纳假设，得：所以，即当时，公式也成立由，对一切，都有成立。xy21解析：，所以过点A（0，3）和点B(3，0)的切线方程分别是，两条切线的交点是（），围成的区域如图所示：区域被直线分成了两部分，分别计算再相加，得：即所求区域的面积是。22解析：（）时，则因为函数存在单调递减区间，所以有解，即，又因为，则的解。当时，为开口向上的抛物线，的解；当时，为开口向下的抛物线，的解，所以，且方程至少有一个正根，所以。综上可知，得取值范围是。（2）时，令，则，所以极大值列表：所以当时，取的最大值又当时，所以的取值范围是。
