1、3函数的单调性1函数单调性的概念(1)函数yf(x)在区间A上的增加与减少及单调区间在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间A上是增加的，有时也称函数yf(x)在区间A上是递增的类似地，在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间A上是减少的，有时也称函数yf(x)在区间A上是递减的如果yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；
2、如果函数是减少的，那么它的图像是下降的(2)函数yf(x)在数集A上的增加与减少及单调性一般地，对于函数yf(x)的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，就称函数yf(x)在数集A上是增加的类似地，在函数yf(x)的定义域内的一个子集A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，就称函数yf(x)在数集A上是减少的如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数yf(x)在这个子集上具有单调性(3)单调函数如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函
3、数，统称为单调函数谈重点 函数单调性的理解函数的单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)正确理解单调性的定义，应抓住以下几个重要字眼：(1)“定义域内”研究函数的很多性质，我们都应有这样一个习惯：定义域优先函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集，所以，在考察函数单调性时，必须先看函数的定义域(2)“区间”函数的单调性是对定义域内某个相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的增减性我们不能说一个函数在x5时是增加的或减少的，因为这时没有一种可比性，没突出变化，所以我们不能脱
4、离区间泛泛谈论某一个函数是增加的或是减少的(3)“任意”和“都有”“任意”两个字很重要，它是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”的意思是：只要x1x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)对“任意”二字不能忽视，如考查函数yx2在区间2,2上的单调性，如果取两个特定的值x12，x21，显然x1x2，而f(x1)4，f(x2)1，有f(x1)f(x2)，若由此判定yx2在2,2上是减少的，那就错了原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性同样地，“都有”两个字也很重要，如函数yx2在2,2上，当x12，x21时，有f(x1)f(x2)；当x11，x22时，有f(
5、x1)f(x2)我们可以看到对于x1x2，f(x1)并没有始终小于(或者大于)f(x2)，因此就不能说yx2在2,2上是增加的或是减少的【例11】下列说法不正确的有()函数yx2在(，)上具有单调性，且在(，0)上是减少的；函数的定义域为(，0)(0，)，在其上是减函数；函数ykxb(kR)在(，)上一定具有单调性；若x1，x2是f(x)的定义域A上的两个值，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则yf(x)在A上是增函数A1个B2个C3个D4个解析：函数yx2在(，0上是减少的，在0，)上是增加的，故其在(，)上不具有单调性；(，0)和(0，)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数是减少的，
6、但在整个定义域上不是减函数，因为存在x111x2，f(x1)1，f(x2)1，有f(x1)f(x2)成立，不符合减函数的定义；当k0时，yb，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性答案：D【例12】若对于任意实数x总有f(x)f(x)，且f(x)在区间(，1上是增函数，则()Af(1)f(2)Bf(1)f(2)Cf(2)f(1)Df(2)f(1)解析：函数f(x)对于任意实数x总有f(x)f(x)，f(2)f(2)f(x)在区间(，1上是增函数，且21，f(2)f(1)，即f(2)f(1)答案：D【例13】定义在R上
7、的函数f(x)是增函数，A(0，1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么不等式|f(x1)|1的解集为()A(1,2) B3，)C2，) D(，1(2，)解析：A(0，1)，B(3,1)是函数f(x)图像上的两点，f(0)1，f(3)1.由|f(x1)|1得1f(x1)1，即f(0)f(x1)f(3)f(x)是定义在R上的增函数，由单调函数的定义可知，0x13，1x2.答案：A2函数单调性的判断方法(1)图像法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图像较容易画出，因此，可利用图像的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间谈重点 函数单调区间的求解及书写1常见函数的图像及其单调性如下表：
8、函数类型正比例函数ykx一次函数ykxbk0k0k0k0图像单调性在R上是增函数在R上是减函数在R上是增函数在R上是减函数函数类型二次函数yax2bxc反比例函数a0a0k0k0图像单调性在上是减少的，在上是增加的在上是增加的，在上是减少的在(，0)和(0，)上都是减少的在(，0)和(0，)上都是增加的以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度2书写函数的单调区间时应该注意以下几点：(1)如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“”连接(并完之后就成了“整体”)例如f(x)的单调减区间可以写成(0，)，(，
9、0)或者写成(0，)和(，0)，但不能写成(0，)(，0)(2)确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间如虽然函数yx2在区间2,3，5,9，1，)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成0，)，而不能写区间0，)的任一子集区间(3)书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图像在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：取值：设x1，x2
10、为给定区间内任意的两个值，且x1x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时，不能用特殊值来代替它们)；作差变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；判断：根据定义作出结论(若x1x2与f(x1)f(x2)同号，则给定函数是增函数；
11、异号，就是减函数)【例21】已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是()解析：已知函数的图像判断其在定义域内的单调性，应从它的图像是上升的还是下降的来考虑根据函数单调性的定义可知函数B在定义域内为增函数答案：B析规律 单调性图像的表现形式函数的单调性反映在图像上是函数图像在指定的区间上(也可以是定义域)从左到右越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图像上的直观表现【例22】画出函数f(x)x22|x|3的图像，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性分析：含有绝对值
12、符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图像后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性解：f(x)当x0时，f(x)(x1)24，其开口向下，对称轴为x1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)0，f(0)3；当x0时，f(x)(x1)24，其开口向下，对称轴为x1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)0.作出函数的图像(如图)，由图看出，函数在(，1，0,1上是增加的，在1,0，1，)上是减少的解技巧 利用图像确定单调区间利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置
13、、形状，确定函数的单调区间【例23】(1)证明函数f(x)在定义域上是减函数；(2)证明函数f(x)x3x在R上是增函数；(3)证明函数f(x)在(0,1)上为减函数分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f(x1)，f(x2)的差f(x1)f(x2)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式证明：(1)f(x)的定义域为0，)，任取x1，x20，)，且x1x2，则x2x10.f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)由单调函数的定义可知，函数f(x)在定义域0，)上是减函数(2)设x1，x2R，且x1x2，则x1x20.f(x1)f(x2
14、)(x13x1)(x23x2)(x13x23)(x1x2)(x1x2)(x12x1x2x22)(x1x2)(x1x2)(x12x1x2x221)(x1x2)0，即f(x1)f(x2)由单调函数的定义可知，函数f(x)x3x在R上是增函数(3)设x1，x2(0,1)且x1x2，则x1x20.f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).0x1x21， x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)由单调函数的定义可知，函数f(x)在(0,1)上为减函数警误区 证明函数单调性的常见错误在第(1)题中，有的同学认为由0x1x2，可得，这种证明实际上利用了函数的单调性，而的单
15、调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使用了“分子有理化”的变形技巧，要注意观察这类题目的结构特点3利用函数的单调性比较两个函数值的大小若函数yf(x)在给定的区间A上是增加的，设x1，x2A，且x1x2，则有f(x1)f(x2)；若函数yf(x)在给定的区间A上是减少的，设x1，x2A，且x1x2，则有f(x1)f(x2)所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小【例3】设函数f(x)是区间(0，)上的减函数，那么f(a2a1)与的大小关系为_解析：已知函数f(x)的单调性，比较两个函数值
16、f(a2a1)与的大小，可以转化为判断a2a1的取值范围以及a2a1与的大小关系a2a1，又f(x)在(0，)上是减函数，当时，a2a1，有f(a2a1)；当时，a2a1，有f(a2a1).综上可知，f(a2a1).答案：f(a2a1)4利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题这类问题能够加深对概念、性质的理解例如：已知函数f(x)x22(1a)x2在(，4上是减少的，求实数a的取值范围由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图像，会给我们研究问题带来很大方便要使f(x)在(，4上是减函数，
17、由二次函数的图像可知，只要对称轴x1a4即可，解得a3.谈重点 分段函数的单调性求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图像之间的上下关系【例4】已知函数f(x)是(，)上的减函数，求实数a的取值范围分析：函数f(x)是一个分段函数，其图像由两部分组成当x1时，f(x)(3a)x4a，其图像是一条射线；当x1时，f(x)，其图像由a的取值确定，若a0，则为一条与x轴重合的射线，若a0，则为反比例函数图像的一部分(曲线)已知函数f(x)是(，)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x1时的图像位于x1时的图像的上方解：由题意知，函数f(x
18、)(3a)x4a，x1与f(x)，x1都是减少的，且前者图像位于后者图像的上方(如图所示)即a3.实数a的取值范围是a|a35利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f(x)在某一闭区间a，b上是增函数，则最大值在右端点b处取得，即ymaxf(b)；最小值在左端点a处取得，即yminf(a)若函数f(x)在某一闭区间a，b上是减函数，则最大值在左端点a处取得，即ymaxf(a)；最小值在右端点b处取得，即yminf(b)解题时也可结合函数的图像，得出问题的答案以下是基本初等函
19、数的最值：正比例函数ykx(k0)在定义域R上不存在最值，但在闭区间a，b上存在最值当k0时，函数ykx的最大值为f(b)kb，最小值为f(a)ka；当k0时，函数ykx的最大值为f(a)ka，最小值为f(b)kb.反比例函数y(k0)在定义域(，0)(0，)上不存在最值，但在闭区间a，b(ab0)上存在最值当k0时，函数y的最大值为f(a)，最小值为f(b)；当k0时，函数y的最大值为f(b)，最小值为f(a).一次函数ykxb(k0)在定义域R上不存在最值，但在闭区间m，n上存在最值当k0时，函数ykxb的最大值为f(n)knb，最小值为f(m)kmb；当k0时，函数ykxb的最大值为f(
20、m)kmb，最小值为f(n)knb.【例51】求函数yx2x1在区间a，a1上的值域解：函数yx2x1的对称轴为，开口方向向上当a1，即时，区间a，a1在对称轴的左侧，y在a，a1上单调递减当xa1时，ymina23a1；当xa时，ymaxa2a1.当时，区间a，a1在对称轴的右侧，y在a，a1上单调递增当xa时，ymina2a1；当xa1时，ymaxa23a1.当aa1，即时，当时，ymin；当，即1a时，当xa1时，ymaxa23a1；当，即a1时，当xa时，ymaxa2a1.综上可知，函数y在区间a，a1上的值域为当时，a23a1，a2a1；当a1时，；当1a时，；当a时，a2a1，a2
21、3a1【例52】求f(x)的最小值分析：求函数f(x)的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值解：f(x)的定义域为1，)，任取x1，x21，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2)()(x1x2)(x1x2).x1x2，x1x20.二次函数yax2bxc(a0)当a0时，函数yax2bxc在定义域R上有最小值，无最大值；当a0时，函数yax2bxc在定义域R上有最大值，无最小值求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的位置关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图像解答以上基本初等函数的最值作为结论记
22、住，可以提高解题速度6利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f(x)在区间D上是递增的，则当x1，x2D且f(x1)f(x2)时，有x1x2事实上，若x1x2，则f(x1)f(x2)，这与f(x1)f(x2)矛盾类似地，若f(x)在区间D上是递减的，则当x1，x2D且f(x1)f(x2)时，有x1x2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域的要求，最后取几个不等式解集的交集即可又10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在1，)上为增函数，f(x)minf(1)1.析规律 利用
23、单调性求最值利用函数的单调性求最值，其规律为：若f(x)在a，b上是递增的，则f(a)f(x)f(b)，即最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在a，b上是递减的，则f(b)f(x)f(a)，即最大值为f(a)，最小值为f(b)【例6】已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(a21)，求a的取值范围分析：由于函数yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(a21)，所以由单调函数的定义可知1a(1,1)，a21(1,1)，且1aa21，解此关于a的不等式组，即可求出a的取值范围解：由题意可得由得0a2，由得0a22，0|a|，且a0.由得a2a20，即(
24、a1)(a2)0，或2a1.综上可知0a1，a的取值范围是a|0a17复合函数单调性的判断方法一般地，如果f(x)，g(x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)g(x)的单调性与f(x)的单调性相同(3)yf(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则ycf(x)d在I上是单调函数若c0，ycf(x)d在I上是递增(减)的；若c0，ycf(x)d在I上是递减(增)的(4)f(x)恒为正或恒为负时，与yf(x)单调性相反(5)若f(x)0，
25、则函数yf(x)与具有相同的单调性(6)复合函数yfg(x)的单调区间求解步骤：将复合函数分解成基本初等函数yf(u)，ug(x)；分别确定各个函数的定义域；分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则yfg(x)为增函数；若为一增一减，则yfg(x)为减函数该法可简记为“同增异减”值得注意的是：在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明【例7】求的单调区间，并指明在该区间上的单调性分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性解：要使函数有意义，需满足x22x30，即(x1)(x3)0
26、.或x1，或x3.函数的定义域为x|x1，或x3令ux22x3，则，易知u(x1)24，其开口向上，对称轴为x1.当x1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数的递增区间是1，)，递减区间是(，3警误区 函数的定义域与单调区间由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间8抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明证明抽象函数的单调性，必须用单调函
27、数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用(2)抽象函数单调性的应用如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等【例8】已知函数f(x)对任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解：(1)令xy0得，f(0)f(0)f(0)，f(0)0.令yx得，f(x)f(x)f(0)，f(x)f(x)任取x1，x2R，且x1x2，则f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)x1x2，x2x10.又当x0时，f(x)0，f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)f(x)在R上是减函数(2)f(x)在3,3上是减少的，f(x)在3,3上的最小值为f(3)f(2)f(1)f(1)f(1)f(1)32，最大值为f(3)f(3)2.高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801
