1、2018届高三数学考前热身卷数学试题注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题第14题)、解答题(第15题第20题)两部分本试卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的05毫米签字笔填写在试卷及答题纸上 3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答；一律无效 4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. 一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题纸相应位置上1 已知集合，若
2、，则实数a的值为 2已知复数zi3，其中i虚数单位，则z的模为 3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 4. 一组数据的平均值是，则此组数据的标准差是 5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为 6 若抛物线的焦点到双曲线C：的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为 7.若实数满足，则的最大值为 8在三棱锥中，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 9 设等差数列的公差为（），其前n项和为若，则的值为 10已知，则的值为 11.如图：梯形中，若，则= 12.如图所示，椭圆E的中心在坐标原点O，
3、顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别是F1，F2，延长B2F2 交A2B1于点P，若B2PA2是钝角，则椭圆E离心率e的取值范围是 13已知实数，满足，则的最大值是 14设函数（）若存在，使，则的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱中，已知，分别为的中点(1)求证：直线平面；(2)求证：16(本小题满分14分)在中，内角、的对边分别为、， 且 .（）求；（）求的周长的取值范围.17. (本小题满分14分)如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30方向的两条街道某公园P位于商业中心北偏东角（，
4、），且与商业中心O的距离为公里处现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A、B两处当AB沿正北方向时，试求商业中心到A、B两处的距离和；若要使商业中心O到A、B两处的距离和最短，请确定A、B的最佳位置18(本小题满分16分）已知圆O：x2 + y2 = 4.(1) 求过点圆O的切线方程.(2)已知两个定点A(a，2)，B(m，1)，其中aR，m 0.P为圆O上任意一点，且 (k为常数)求常数k的值；过点E(a，t)作直线l与圆C：x2 + y2 = m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围19(本小题满分16分）已经函数的定义域为，设（1）试确定的取值范围，使得函数
5、在上为单调函数；（2）求证；（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（解答过程可参考使用以下数据）.20. (本小题满分16分） 设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值.（1）若，求;（2）若，求数列的前项和公式;（3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围？如果不存在，请说明理由.2018届高三数学考前热身卷数学试题（附加）21A如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED（E在C，D之间），求证：CBE=BDEB选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知，向量是二阶矩阵的属性特征值3的一个特征
6、向量，求直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线的方程C在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 (为参数)，求直线被曲线所截得的弦长D求函数的最大值22在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为，判断错误的概率为，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完题后总得分为” （1）当时，记，求的分布列及数学期望；（2）当时，求的概率 23.如图，已知抛物线，点，抛物线上的点过点作直线的垂线，垂足为（1）求直线斜率的取值范围；（2）求|的最大值2018届高三数学考前热身卷数学
7、试题答案注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题第14题)、解答题(第15题第20题)两部分本试卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的05毫米签字笔填写在试卷及答题纸上 3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答；一律无效 4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. 一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题纸相应位置上1 已知集合，若，则实数a的值为 1. 【答
8、案】 82已知复数zi3，其中i虚数单位，则z的模为 2【答案】 3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 【答案】424. 一组数据的平均值是，则此组数据的标准差是 4. 【答案】5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为 5.【答案】6 若抛物线的焦点到双曲线C：的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为 6【答案】3 7.若实数满足，则的最大值为 7. 【答案】8在三棱锥中，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 8【答案】9 设等差数列的公差为（），其前n项和为若，则的值为 9【答案】10
9、已知，则的值为 10.【答案】【解析】 11.如图：梯形中，若，则= 11. 【答案】12.如图所示，椭圆E的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别是F1，F2，延长B2F2 交A2B1于点P，若B2PA2是钝角，则椭圆E离心率e的取值范围是 12. 【答案】方法一：直线A2B1：，直线B2F2：，联立可得，因为B2PA2是钝角，所以，即，又，所以，方法二：因为B2PA2是钝角，所以，又，所以，椭圆E的离心率e的取值范围是13已知实数， 满足，则的最大值是 13.【答案】4.14设函数（）若存在，使，则的取值范围是 14【答案】【解析】 若，当时，为递增函数，且，当时，的
10、对称轴为，若存在，使得，则或，即或，解得 若，当时，为递增函数，且，当时，为递减函数，且，当时，的对称轴为，若存在，使得，则，即，解得，又，所以综上可得，即的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱中，已知，分别为的中点(1)求证：直线平面；(2)求证：15. 证明(1)由题知，EF是AA1B的中位线，所以EFA1B2分由于EF平面BC1A1，A1B平面BC1A1，所以EF平面BC1A1.6分(2)由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1CBC1. 8分又A1C1B1ACB90，所以A1C1C1B1.
11、在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面A1C1B1，A1C1平面A1C1B1，从而A1C1CC1，又CC1C1B1C1，CC1，C1B1平面BCC1B1，所以A1C1平面BCC1B1 又B1C平面BCC1B1，所以A1C1B1C. . 10分因为A1C1BC1C1，A1C1，BC1平面BC1A1，所以B1C平面BC1A1. 12分又A1B平面BC1A1，所以B1CA1B.又由于EFA1B，所以EFB1C. 14分16(本小题满分14分)在中，内角、的对边分别为、， 且 .（）求；（）求的周长的取值范围.16（）在中有正弦定理得，又， 所以， ， 故， 因为 ，故 ，所以， ，故得周长的取值
12、范围是. 17. (本小题满分14分)如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30方向的两条街道某公园P位于商业中心北偏东角（，），且与商业中心O的距离为公里处现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A、B两处当AB沿正北方向时，试求商业中心到A、B两处的距离和；若要使商业中心O到A、B两处的距离和最短，请确定A、B的最佳位置17以O为原点，OA所在直线为轴建立坐标系设，则， 4分依题意，ABOA，则OA=，OB=2OA=9，商业中心到A、B两处的距离和为13.5km 方法1：当AB与轴不垂直时，设AB：，令，得；由题意，直线OB的方程为，解联立的方程组，得，由，得，或 ，令，得，当时，是
13、减函数；当时，是增函数，当时，有极小值为9km；当时，是减函数，结合知km综上所述，商业中心到A、B两处的距离和最短为9km，此时OA=6km，OB=3km，方法2：如图，过P作PM/OA交OB于M，PN/OB交OA于N，设BAO=，OPN中，得PN=1，ON=4=PM，PNA中NPA=120-得 同理在PMB中，得， ， 当且仅当即即时取等号方法3：若设点，则AB：，得， 当且仅当即时取等号方法4：设，AB：，得， 当且仅当即时取等号答：A选地址离商业中心6km，B离商业中心3km为最佳位置18(本小题满分16分）已知圆O：x2 + y2 = 4.(1) 求过点圆O的切线方程.(2)已知两个
14、定点A(a，2)，B(m，1)，其中aR，m 0.P为圆O上任意一点，且 (k为常数)求常数k的值；过点E(a，t)作直线l与圆C：x2 + y2 = m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围18(1)和（2）设点P(x，y)，x2 + y2 = 4，PA = ，PB = ，因为，所以(x a)2 + (y 2)2 = k2(x m)2 + (y 1)2，又x2 + y2 = 4，化简得2ax + 4y a2 8 = k2(2mx + 2y m2 5)， 因为P为圆O上任意一点，所以， 又m 0，k 0，解得，所以常数k = 法一：设M(x0，y0)，M是线段NE的中点
15、，N(2x0 2，2y0 t)，又MN在圆C上，即关于x，y的方程组有解， 化简得有解，即直线n：8x + 4t y t2 7 = 0与圆C：x2 + y2 = 1有交点， 则do-n = 错误！未定义书签。 1，化简得：t4 2t2 15 0，解得t-， 法二：设过E的切线与圆C交于切点F，EF2 = EMEN， 又M是线段NE的中点，所以EN = 2MN，EM = MN，所以EF2 = 2MN2，又EF2 = EO2 OF2 = 22 + t2 1 = t2 + 3，所以MN 2，t2 + 3 8， 所以t-， 19(本小题满分16分）已经函数的定义域为，设（1）试确定的取值范围，使得函数
16、在上为单调函数；（2）求证；（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（解答过程可参考使用以下数据）.19.（1）（2）证：因为在上递增，在上递减，所以在处取得权小值又，所以在的最小值为从而当时， ，即（3）等价于即记，则等价于，即记，则所以在上单调递减， 又所以的最大值为620. (本小题满分16分） 设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值.（1）若，求;（2）若，求数列的前项和公式;（3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围？如果不存在，请说明理由.20.（1）由题意，得，解，则，所以成立的所有中的最小整数为7，即.（2）由题意
17、，得，对于正整数由，得,根据的定义可知，当时，当时，=（3）假设存在和满足条件，由不等式及得，根据的定义可知，对于任意正整数的都有即对任意的正整数都成立.当（或）时，得这与上述结论矛盾.当即时，所以存在和，使得满足条件的，且，的取值范围分别是：.2018届高三数学考前热身卷数学试题（附加）21A如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED（E在C，D之间），求证：CBE=BDEB选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知，向量是二阶矩阵的属性特征值3的一个特征向量，求直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线的方程B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）解：由题
18、意，即， 所以解得，所以 设上一点在的作用下得到直线上一点，则，即所以 代入直线，得， 即直线的方程为. C在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 (为参数)，求直线被曲线所截得的弦长21C解：曲线C的直角坐标方程为， 圆心为，半径为， 3分直线的直角坐标方程为， 5分所以圆心到直线的距离为， 8分所以弦长 10分D求函数的最大值22在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为，判断错误的概率为，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完题后总得分为” （1）当时，记
19、，求的分布列及数学期望；（2）当时，求的概率 7（1）的取值为1，3，又； 13故， 所以 的分布列为：-3分且 =1+3=； -5分（2）当S8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题， 又已知，若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题和第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题 此时的概率为 -10分23.如图，已知抛物线，点，抛物线上的点过点作直线的垂线，垂足为（1）求直线斜率的取值范围；（2）求|的最大值23. 解：（1）设直线AP的斜率为k，k=x-，因为-x，所以直线AP斜率的取值范围是（-1，1）（2）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ=因为|PA|=(x+)=(k+1)，|PQ|=(xQ-x)=-，所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3令f(k)=-(k-1)(k+1)3，因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2，所以f(k)在区间(-1,)上单调递增，(,1)上单调递减，因此当k=时，|PA|PQ|取得最大值
