1、第二章 函数、导数及其应用第四节 二次函数与幂函数(2016无锡模拟)已知函数 f(x)x22ax3，x4，6(1)当 a2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4，6上是单调函数；(3)当 a1 时，求 f(|x|)的单调区间解：(1)当 a2 时，f(x)x24x3(x2)21，则函数在4，2)上为减函数，在(2，6上为增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)(4)24(4)335.(2)函数 f(x)x22ax3 的对称轴为 x2a2 a，要使 f(x)在4，6上为单调函数，只需a4 或a6，解得 a4 或 a6.(3)当 a1 时，
2、f(|x|)x22|x|3 x22x3（x1）22，x0，x22x3（x1）22，x0，其图象如图所示，又x4，6，f(|x|)在区间4，1)和0，1)上为减函数，在区间1，0)和1，6上为增函数1本例(3)应去掉绝对值符号，化为分段函数后求解 2解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍(1)设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是()解析：由 A，C，D 知，
3、f(0)c0.abc0，ab0，对称轴 x b2a0，知 A，C 错误，D 符合要求 由 B 知 f(0)c0，ab0，x b2a0，B 错误答案：D(2)如果函数 f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图象关于直线 x1 对称，则函数 f(x)的最小值为_解析：由题意知a22 1，ab2，得a4，b6.则 f(x)x22x6(x1)255.答案：5 已知二次函数 f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数 f(x)的最小值为 f(1)0，求 f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk 在区间3，1上恒成立，试求k 的范围解：(1)由题意知 b2a1，f（
4、1）ab10，解得a1，b2.所以 f(x)x22x1，由 f(x)(x1)2 知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1(2)由题意知，x22x1xk 在区间3，1上恒成立，即kx2x1 在区间3，1上恒成立，令 g(x)x2x1，x3，1，由 g(x)x12234知 g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以 k1，即 k 的取值范围是(，1)1对于函数 yax2bxc，若是二次函数，就隐含着 a0，当题目未说明是二次函数时，就要分 a0，a0 两种情况讨论 2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是 af(x
5、)af(x)max，af(x)af(x)min.(2014江苏卷)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的取值范围是_解析：含参数的二次函数问题，将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立，作出二次函数图象，根据条件结合图象列出关于 m 的不等式组求解 要满足 f(x)x2mx10，对于任意 xm，m1，都有 f(x)0，只需f（m）0，f（m1）0，即m2m210，（m1）2m（m1）10，解得 22 m0.答案：22，0(1)幂函数 yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 yf(x)的图象是()(2)若(2m1)12(m2m1)12，则实数
6、m 的取值范围是()A.，512 B.512，C(1，2)D.512，2解析：(1)令 f(x)x，则 42，12，f(x)x12.根据图象特征可知选 C.(2)因为函数 yx12的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于2m10，m2m10，2m1m2m1.解 2m10，得 m12；解 m2m10，得 m 512或 m 512.解 2m1m2m1，得1m2，综上 512m2.答案：(1)C(2)D1对于幂函数 yx的图象与性质应注意以下两个方面：(1)的正负：0 时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；0 时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降(2)曲线
7、在第一象限的凹凸性，1 时，曲线下凸；01 时，曲线上凸；0 时，曲线下凸 2在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，利用其单调性进行比较(1)若 a1223，b1523，c1213，则 a，b，c 的大小关系是()Aabc BcabCbca Dbac解析：因为 yx23在第一象限内是增函数，所以 a1223b1523，因为 y12x是减函数，所以 a1223c1213，所以 bac.答案：D(2)已知幂函数f(x)xm22m3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则 m 的值为_解析：f(x)在(0，)上是减函数，m22m30，解得1m3.又 mN*，m1 或 m2.由于 f(x)的图象关于 y 轴对称 m22m3 的值应为偶数，又当 m2 时，m22m3 为奇数，m2 舍去因此 m1.答案：1
