1、第5讲空间直线、平面的垂直1直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理 文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直l(3)直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直(3)平面与平面
2、垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直l3直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角(2)斜线与平面所成的角的范围：.直线与平面所成的角的范围：.4二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角5三种距离(1)点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，
3、垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离(2)线面距一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离(3)面面距如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，把它叫做这两个平行平面间的距离直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直1(2022广东深圳调研)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不
4、重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A，且m Bmn，且nC，且m Dmn，且n答案B解析因为，m，则m，的位置关系不确定，可能平行、相交、m在内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若，m，则m，的位置关系也不确定，故C错误；若mn，n，则m，的位置关系也不确定，故D错误故选B.2(多选)下列命题中正确的有()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案ABC解析若，则内至少有一条直线垂直于平面，而非所有直线都垂直于平面
5、.故选ABC3若斜线段AB是它在平面内射影长的2倍，则AB与平面所成的角的大小为()A60 B45 C30 D90答案A解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形如图所示，ABO即是斜线段与平面所成的角又AB2BO，所以cosABO，所以ABO60.故选A4如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小为()A90 B60 C45 D30答案A解析PA平面ABC，BA，CA平面ABC，BAPA，CAPA，因此BAC即为二面角BPAC的平面角又BAC90，故选A5在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)
6、若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如图，PO平面ABC，连接OA，OB，OC，在RtPOA中，OA2PA2PO2，同理OB2PB2PO2，OC2PC2PO2.又PAPBPC，故OAOBOC，O是ABC的外心(2)由PAPB，PAPC，可知PA平面PBC，PABC，又POBC，BC平面PAO，AOBC，同理BOAC，COAB.故O是ABC的垂心6(2019全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_.答案解析如图，过点P作PO平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离再过
7、O作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE，PF，则PEAC，PFBC又PEPF，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以OE1，所以PO .考向一有关垂直关系的判断例1(1)已知平面及外的一条直线l，下列命题中不正确的是()A若l垂直于内的两条平行线，则lB若l平行于内的一条直线，则lC若l垂直于内的两条相交直线，则lD若l平行于内的无数条直线，则l答案A解析由直线与平面平行的有关定理和结论可知选项B，D正确，选项C是直线与平面垂直的判定定理，而A中，直线l可能与平面垂直，也可能与平面相交但不垂直，还可能与平面平行，故选A(2)
8、(多选)(2022湖南长沙摸底)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()答案BD解析对于A，易证AB与CE所成的角为45，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，易证ABCE，ABED，且CEEDE，则AB平面CDE；对于C，易证AB与CE所成的角为60，则直线AB与平面CDE不垂直；对于D，易证ED平面ABC，则EDAB，同理CEAB，且EDCEE，则AB平面CDE.故选BD. 判断垂直关系需注意的问题(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准(2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进
9、行简单说明1.(多选)(2021新高考卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满足MNOP的是()答案BC解析设正方体的棱长为2，对于A，如图1所示，连接AC，则MNAC，故POC或其补角为异面直线OP，MN所成的角，在直角三角形OPC中，OC，CP1，故tanPOC，故MNOP不成立，故A错误；对于B，如图2所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQMT，PQMN，由正方体SBCNMADT可得SM平面MADT，而OQ平面MADT，故SMOQ，而SMMTM，故OQ平面SNTM，又MN平面SNTM，所以OQMN，而OQPQQ，所以MN平面OPQ，而OP平
10、面OPQ，故MNOP，故B正确；对于C，如图3，连接BD，则BDMN，由B的判断可得OPBD，故OPMN，故C正确；对于D，如图4，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，AO，则ACMN，因为DPPC，故PQAC，故PQMN，所以QPO或其补角为异面直线OP，MN所成的角，因为正方体的棱长为2，故PQAC，OQ，OP，OQ2，在线段AC上存在点P满足条件，此时.若选条件二面角AMNC的大小为60，由(1)得AMB是二面角AMNC的平面角，AMB60，SABM12，三棱锥ABCM的体积为VSABM.所以在线段AC上存在点P满足条件，且1.若选条件A到平面BCNM的距离为
11、，过A作AOBM，垂足为O，则AO平面BCNM，AO，AMB45或135，SABM12，三棱锥ABCM的体积为VSABM，所以在线段AC上不存在点P满足条件18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，D为BC边上一点，BD，AA1AB2AD2.(1)证明：平面ADB1平面BB1C1C；(2)若BDCD，试问：A1C是否与平面ADB1平行？若平行，求三棱锥AA1B1D的体积；若不平行，请说明理由解(1)证明：因为AA1平面ABC，所以BB1平面ABC，因为AD平面ABC，所以ADBB1.在ABD中，因为AB2，AD1，BD，所以AB2AD2BD2，所以ADBC，又因为BCBB1B，所以AD平面BB1C1C，因为AD平面ADB1，所以平面ADB1平面BB1C1C(2)A1C与平面ADB1平行.证明如下：取B1C1的中点E，连接DE，CE，A1E，因为BDCD，所以DEAA1，且DEAA1，所以四边形ADEA1为平行四边形，则A1EAD.同理可证CEB1D.因为A1ECEE，ADB1DD，所以平面ADB1平面A1CE，又因为A1C平面A1CE，所以A1C平面ADB1.因为AA1BB1，所以VB1AA1DVBAA1D，又因为BD，且易证BD平面AA1D，所以VAA1B1DVB1AA1DVBAA1D21.
