1、天津市河西区2020届高三数学上学期期中试题（含解析）第I卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设为虚数单位，复数，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】，则，故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出全集后可得.【详解】，所以，选C.【点睛】本题考查集合的补运算，是基础题，解题时注意集合中元素的属性
2、.3.函数的最小周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用正切函数的最小正周期公式即可求得函数的最小正周期.【详解】由最小正周期公式可得函数最小正周期为：.故选：C.【点睛】本题主要考查正切函数的最小正周期公式，属于基础题.4.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A. -3B. -2C 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，得，则，故选C【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大5.对于函数,“的图象关于轴对称”是“=是奇函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条
3、件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B正确.6.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值【详解】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。7.已知函数在区间内单调递增，且，若，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由f（x）f（x）可得f（x）为偶函数，结合函数的单调性可得f（x）在（
4、0，+）上递减，进而又由21.2211log23，分析可得答案【详解】解：根据题意，函数yf（x）满足f（x）f（x），则函数f（x）为偶函数，又由函数yf（x）在区间（，0）内单调递增，则f（x）在（0，+）上递减，af（3）f（log23），bf（21.2），cf（）f（21），又由21.2211log23，则bca，故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性，属于基础题8.若实数满足，则的最小值为（ ）A. B. 2C. D. 4【答案】C【解析】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.考点：基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“
5、积式”和将“积式”转化为“和式”放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解【此处有视频，请去附件查看】9.已知函数，若集合含有4个元素，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=1与y=f（x）在（0，+）上的交点坐标，则介于第4和第5个交点横坐标之间【详解】f（x）=2sin（x），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（x）
6、=1得x=+2k，或x=+2k，x=+，或x=+，kZ，设直线y=1与y=f（x）在（0，+）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA=，xB=，方程f（x）=1在（0，）上有且只有四个实数根，xAxB，即，解得故选：B【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，多空题对一空得3分，共30分）10.命题“”的否定是_.【答案】【解析】【分析】利用特称命题的否定方法对所给的命题进行否定即可.【详解】分别否定量词和结论可得命题“”的否定是：.故答案为：【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题.1
7、1.在中，若则三个内角中最大角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】由题意首先利用比例关系设出边长，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值即可.【详解】由题意不妨设：，利用大边对大角可知A为ABC中最大的角，由余弦定理可得：.故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理及其应用，大边对大角结论的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.设函数若，则_【答案】3【解析】由函数解析式，可得即 ，则 即答案为3.13.在梯形中，若，则的值为_【答案】7【解析】【分析】用表示出各向量，根据3，计算，再计算的值【详解】ABCD，AB4，CD2，（）（）3，即93，4又，（）927故答案为：7【点睛】
8、本题考查了平面向量的基本定理的应用，考查了数量积的运算性质的应用，属于中档题14.已知实数，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据题干得到，则 ，再根据均值不等式得到最值即可.【详解】根据题意得到，变形为，则 因为，故得到 当且仅当时等号成立.故 故答案为：.【点睛】本题考查了在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意首先研究函数的性质，然
9、后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围.【详解】当时，函数在区间上单调递增，很明显，且存在唯一的实数满足，当时，由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，考查函数在区间上的性质，由二次函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数有6个零点，即方程有6个根，也就是有6个根，即与有6个不同交点，注意到函数关于直线对称，则函数关于直线对称，绘制函数的图像如图所示，观察可得：，即.综上可得，实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的应用，复合函
10、数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（）（）【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（）解：由（），可得，代入，得.由（）知，A为钝角，所以.于是，故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进
11、行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.17.已知函数最小正周期为.（1）求的值及函数的对称轴方程；（2）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为，求的单调递增区间.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)首先将函数的解析式整理为的形式，然后利用最小正周期公式求得的值，最后由函数的解析式求解其对称轴方程即可；(2)结合(1)中的解析式首先求得函数的解析式，然后求解其单调递增区间
12、即可.【详解】（1），函数的最小正周期为 ， ， 对称轴方程，（2），单调递增区间：解得：，所以的单调递增区间为.【点睛】本题主要考查三角函数对称轴的求解三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.已知函数=.（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）已知，若方程在有解，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)由题意首先求得a的值，然后求解二次不等式即可得到不等式的解集；(2)首先将原问题转化为二次函数求最值的问题，然后结合二次函数的性质得到关于a的不等式组
13、，求解不等式组即可求得实数a的取值范围；(3)首先整理所给的方程，分离参数得到关于的二次函数，结合二次函数的值域即可确定实数a的取值范围.【详解】（1）由的解集是，可得有2个不等的实根1和2， 由韦达定理，可得 此时等价于，即，解得或所以不等式的解集是或；（2）对于任意的，不等式恒成立，也即 对任意的恒成立，因为二次函数开口向上，最大值在或处取得，所以只需满足，解得：，据此可得；综上可得，实数a的取值范围是：.（3）若方程在有解，可得到在有实数根.参数分离得，则，结合二次函数性质可得，所以，也即.综上可得，实数a的取值范围是：.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合
14、在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析19.在公差不为零的等差数列中，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和，求； （3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列的首项即可确定数列的通项公式；(2)由题意首先确定数列的通项公式，然后利用等比数列前n项和公式即可求得；(3)由题意结合(1)中的通项公式裂项求和即可求得的值.【详解】（1）由成等比数列，可得，解得或(舍).（2） ，利用等比数列前n项和公式可得： ；（
15、3）,所以.即.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，等比数列前n项和公式，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知函数.（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；（2）求的单调区间；（3）设函数，求证：当时， 在上存在极小值.【答案】(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为存在大于的实数根，根据在时递增，求出的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数，根据，得到存在，满足，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即
16、可.试题解析：（1）由得.由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数a的取值范围.（2）由可得当时， ，所以函数的增区间为；当时，若， ，若， ，所以此时函数的增区间为，减区间为.（3）由及题设得，由可得，由（2）可知函数在上递增，所以，取，显然，所以存在满足，即存在满足，所以， 在区间（1，+）上的情况如下： 0 + 极小 所以当-1a0时，g（x）在（1，+）上存在极小值.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.
