1、1函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数解函数yf(x)的图象与x轴有公共点函数yf(x)有零点.(3)函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解2二分法对于在区间a，b上图象连续不断且f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210有关函数零点
2、的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)0的实根(5)由函数yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件1(2021宁夏中卫模拟)函数f(x)exx39的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析函数f(x)exx39是连续
3、增函数，f(1)e190，可得f(1)f(2)0，所以函数的零点所在区间为(1,2)故选B.2设f(x)lg xx3，用二分法求方程lg xx30在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)0，f(2.5)0，则方程的根所在的区间为()A(2,2.25) B(2.25,2.5)C(2.5,2.75) D(2.75,3)答案C解析由已知得f(2.25)f(2.5)0，f(2.5)f(3)0，故方程的根在区间(2.5,3)内，又因为f(2.5)f(2.75)0，所以方程的根所在的区间为(2.5,2.75)故选C3若函数f(x)axb(a0)的零点是2，则函数g(x)ax2bx的零点是()A2 B0
4、和2C0 D2和0答案B解析由条件知f(2)0，b2a，g(x)ax2bxax(x2)的零点为0和2.故选B.4(2022重庆调研)设函数f(x)2|x|x23，则函数yf(x)的零点个数是()A4 B3 C2 D1答案C解析函数f(x)2|x|x23的零点个数，即函数y2|x|的图象与函数y3x2的图象的交点个数作出函数y2|x|与函数y3x2的图象如图所示，由图可知函数yf(x)的零点个数是2.故选C5若函数f(x)3mx4在2,0上存在x0，使f(x0)0，则实数m的取值范围是_.答案解析由已知得f(2)f(0)(6m4)(4)0，解得m，故实数m的取值范围是.6若函数f(x)则函数yf
5、(x)1的零点是_.答案0和解析要求函数yf(x)1的零点，则令yf(x)10，即f(x)1，又因为f(x)当x0时，f(x)ex，由ex1，解得x0；当x0时，f(x)x21，由x211，解得x(负值舍去)综上可知，函数yf(x)1的零点是0和.考向一函数零点所在区间的判断例1(1)(2021太和县校级二模)已知函数f(x)ex2x5的零点位于区间(m，m1)，mZ上，则2mlog4|m|()A B C D答案D解析函数f(x)ex2x5是单调递减函数，f(2)e210，f(1)e30，f(2)f(1)0，函数f(x)ex2x5的零点位于区间(2，1)，m2，则2mlog4|m|22log4
6、2.故选D.(2)(2021长春模拟)设函数f(x)log4xx，g(x)xx的零点分别是x1，x2，则()Ax1x21 B0x1x21C1x1x22 Dx1x22答案B解析由题意可得x1是函数ylog4x的图象和yx的图象的交点的横坐标，x2是yx的图象和函数yx的图象的交点的横坐标，且x1，x2都是正实数，如图所示，故有x2log4x1，故log4x1x20，log4x1log4x20，log4(x1x2)0，0x1x21.故选B. 判断函数零点所在区间的常用方法(1)定义法：利用函数零点存在定理，首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数
7、yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断1.若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内答案A解析函数yf(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于abc，则ab0，ac0，bc0，f(b)(bc)(ba)0.所以f(a)f(b)0
8、，f(b)f(c)0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.答案2解析对于函数ylogax，当x2时，可得y1，如图，在同一坐标系中画出函数ylogax，yxb的图象，由图可知两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，n2.考向二函数零点个数的讨论例2(1)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析由2x|log0.5x|10得|log0.5x|x，作出y|log0.5x|和yx的图象，如图所示，则两个函数图象有2个交点，故函数f(x)2x|log0.5x|1有2个零点(2)(2021长沙模拟)已知函数f(x)(
9、xR)是奇函数且当x(0，)时是减函数，若f(1)0，则函数yf(x22|x|)的零点共有()A4个 B5个 C6个 D7个答案D解析根据题意，函数yf(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0，当x(0，)时是减函数，且f(1)0，则函数在(0，)上只有一个零点，若函数yf(x)是奇函数且当x(0，)时是减函数，则f(x)在(，0)上是减函数，又f(1)0，则f(1)f(1)0，则函数在(，0)上只有一个零点故函数yf(x)共有3个零点，依次为1,0,1.对于函数yf(x22|x|)，当x22|x|1时，解得x1；当x22|x|0时，解得x2或x0；当x22|x|1时，解得x1或x1.故函数y
10、f(x22|x|)的零点共有7个 确定函数零点个数的方法及思路(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)函数零点存在定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0时，令|ln x|30，ln x3，xe3或e3，都满足x0；当x0时，令2x24x30，即2x24x30，164230，方程没有实数根综上，函数yf(x)3的零点的个数是2.4(2021新疆模拟)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且f(2x)f(x)，当0x1时，f(x)x，设函数g(x)f(x)log7|x|，则g(x)的零点的个数为()A6 B12 C8 D1
11、4答案B解析由题意，yf(x)的图象关于x1对称，函数g(x)f(x)log7|x|的零点即为f(x)log7|x|的根，又yf(x)是定义在R上的偶函数，f(x)f(x)，f(2x)f(x)f(x)，可得f(x)的周期为2，函数yf(x)与ylog7|x|的图象都关于y轴对称，作出两函数在(0，)上的部分图象如图，由图可知，两函数在(0，)上有6个交点，根据对称性可得，g(x)的零点的个数为12.故选B.多角度探究突破考向三函数零点的应用角度利用零点比较大小例3(1)设函数f(x)ex14x4，g(x)ln x.若f(x1)g(x2)0，则()A0g(x1)f(x2)Bg(x1)0f(x2)
12、Cf(x2)0g(x1)Df(x2)g(x1)0，f(0)40，g(1)10，又f(x1)g(x2)0，0x11,1x22，g(x1)0ba BbcaCcab Dacb答案B解析由题意可得，实数a，b，c分别为函数y2x，ylog2x，yx3与函数yx1交点的横坐标，绘制函数图象如图所示，则a，b，c分别为点A，B，C的横坐标，即bca.故选B. 在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较5.已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)
13、0，f(x2)0答案B解析在同一平面直角坐标系内作出函数y2x和函数y的图象，如图所示由图象可知函数y2x和函数y的图象只有一个交点，即函数f(x)2x只有一个零点x0，且x01.因为x1(1，x0)，x2(x0，)，则由函数图象可知，f(x1)0.角度由函数零点存在情况或个数求参数范围例4(1)(2021北京高三二模)“a0”是“函数f(x)有且只有一个零点”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析当x0时，令f(x)0，则ln x0，x1，当x0时，f(x)有一个零点为1，函数f(x)只有一个零点，当x0时，f(x)2xa无零点，即a2x或a1或a0
14、，“a0”是“函数f(x)有且只有一个零点”的充分不必要条件故选A(2)(2021丰台区一模)已知函数f(x)若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则实数m的取值范围是()A(0,2) B(，2)(0,2)C(2,0) D(2,0)(2，)答案B解析方程f(x)b有三个不同的根等价于函数yf(x)与直线yb有三个交点，根据选项画出相应函数图象当m2m，函数f(x)的图象如图1.由图象可知存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根；当2m0时，m22m，函数f(x)的图象如图2.由图象可知不存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根；当0m2时，m22m，函
15、数f(x)的图象如图3.由图象可知存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根；当m2时，m22m，函数f(x)的图象如图4.由图象可知不存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根综上所述，m2或0m2时，方程f(x)b有三个不同的根故选B.已知函数零点求参数范围的常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解6.若函数yax22x1只有一个零点，则实数a的值为_.答案0或1解析当a0时，
16、y2x1，有唯一零点；当a0时，由题意可得44a0，解得a1.综上，实数a的值为0或1.7(2021郑州质检)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，其中的一个成果是：设xR，则yx称为高斯函数，x表示不超过x的最大整数，如1.71，1.22，并用x表示x的非负纯小数，即xxx，若方程x1kx有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为_.答案解析根据题意可得函数yx在x轴正半轴的大致图象如图所示，函数y1kx为过定点P(0,1)的直线，所以要使方程x1kx有且仅有4个实数根，则直线y1kx应在PA，PB之间以及恰好在PA处，所以k，即k.一、单项
17、选择题1(2021吕梁一模)函数f(x)2xx5的零点x0a1，a，aN*，则a()A1 B2 C3 D4答案C解析函数f(x)2xx5是连续增函数，f(2)450，所以函数f(x)2xx5的零点在(2,3)内，所以a3.故选C2(2021长郡中学高三月考)设函数f(x)xlog2xm，则“函数f(x)在上存在零点”是“m(1,6)”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析函数f(x)xlog2xm在区间(0，)上单调递增，由函数f(x)在上存在零点，得fm0，f(4)6m0，解得m6，故“函数f(x)在上存在零点”是“m(1,6)”的必要不充分条件故选
18、B.3(2021惠州质检)函数f(x)|x2|ln x在定义域内的零点的个数为()A0 B1 C2 D3答案C解析由题意可知f(x)的定义域为(0，)，在同一直角坐标系中画出函数y1|x2|(x0)，y2ln x(x0)的图象，如图所示由图可知函数f(x)在定义域内的零点的个数为2.4函数f(x)xcos2x在区间0,2上的零点的个数为()A2 B3 C4 D5答案D解析f(x)xcos2x0x0或cos2x0，又cos2x0在0,2上的根有，共4个，故f(x)有5个零点5若x0是方程x的解，则x0属于区间()A BC D答案C解析令g(x)x，f(x)x，则g(0)1f(0)0，gf，所以由
19、图象关系可得x00时，f(x)3x1有一个零点x.因此当x0时，f(x)exa0只有一个实根，aex(x0)，则1a0.7(2021顺德区模拟)函数f(x)(x)sinx1在区间2，4上的所有零点之和为()A0 B C4 D8答案D解析令f(x)0，则sinx，易知函数ysinx与y的图象均关于点(，0)对称，作出函数ysinx与y在2，4的图象如图所示，由图象可知，在2，4上共有4对零点，且每对零点之和为2，故所有零点之和为428.故选D.8已知函数f(x)为偶函数，且f(x)在R上有3个零点，则f(x)的解析式可以为()Af(x)x2(2x2x4)Bf(x)x2(2x4x2)Cf(x)x3
20、(2x2x4)Df(x)x(2x2x)答案A解析对于A，f(x)x2(2x2x4)，其定义域为R，f(x)x2(2x2x4)f(x)，是偶函数，对于方程2x2x40，设t2x，则有t40，变形可得t24t10，方程有2个正根，则2x2x40有两解，则函数f(x)x2(2x2x4)有3个零点，A符合题意；对于B，f(x)x2(2x4x2)，其定义域为R，有f(x)x2(2x4x2)f(x)，不是偶函数，不符合题意；对于C，f(x)x3(2x2x4)，其定义域为R，有f(x)x3(2x2x4)f(x)，是奇函数，不符合题意；对于D，f(x)x(2x2x)，其定义域为R，有f(x)(x)(2x2x)
21、f(x)，是偶函数，对于方程2x2x0，设t2x，则有t0，解得t1，只有1个正根，则方程2x2x0有一解，即x0，则函数f(x)x(2x2x)有1个零点，不符合题意故选A二、多项选择题9(2021青岛模拟)某同学求函数f(x)ln x2x6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： f(2)1.307f(3)1.099f(2.5)0.084f(2.75)0.512f(2.625)0.215f(2.5625)0.066则方程ln x2x60的近似解(精确度为0.1)可取为()A2.52 B2.56C2.66 D2.75答案AB解析由表格可知方程ln x2x60的解在(2.5,2.5625)内，
22、又|2.56252.5|0.0625x2)，则下列结论正确的是()A1x12 Bx1x21Cx1x2x2)，在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象如图所示，可知1x122，所以2x11x24，所以x1x22.故选AC11(2021海南中学高三月考)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()A
23、f(x)2xxBf(x)x2x3Cf(x)Df(x)x答案BCD解析根据定义可知，若f(x)有不动点，则f(x)x有解对于A，令2xxx，所以2x0，此时无解，故f(x)不是“不动点”函数；对于B，令x2x3x，所以x3或x1，所以f(x)是“不动点”函数；对于C，当x1时，令2x21x，所以x或x1，所以f(x)是“不动点”函数；对于D，令xx，所以x，所以f(x)是“不动点”函数故选BCD.12. (2021海口模拟)f(x)是定义在区间c，c上的奇函数，其图象如图所示令g(x)af(x)b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是()A若a0，则函数g(x)的图象关于原点对称B若a1，2b0
24、，则方程g(x)0有大于2的实根C若a0，b2，则方程g(x)0有两个实根D若a1，2b2，则方程g(x)0有三个实根答案BD解析当a0时，f(x)的图象关于原点对称，根据图象平移知g(x)af(x)b的图象关于点(0，b)对称，故A错误；a1时，方程g(x)0f(x)b，2b 0，由f(x)的图象知，f(x)b在x(2，c)上有一个实根，故B正确；a0，b2时，g(x)0f(x)，若使方程g(x)0有两个根，由题图知，必有2a1，其他的非零a值均不满足，故C错误；a1，2b2时，g(x)0f(x)(2,2)，由题图知有三个实根，故D正确故选BD.三、填空题13(2021石家庄模拟)已知函数f
25、(x)a的零点为1，则实数a的值为_.答案解析由已知得f(1)0，即a0，解得a.14若函数f(x)log2xxk(kZ)在区间(2,3)内有零点，则k_.答案4解析因为函数f(x)在区间(2,3)内递增，则f(2)f(3)0，即(log222k)(log233k)0，整理得(3k)(log233k)0，解得3k3log23，而43log235.因为kZ，所以k4.15(2021泰安模拟)已知函数f(x)若f(x0)1，则x0_；若关于x的方程f(x)k有两个不同零点，则实数k的取值范围是_.答案1(0,1)解析解方程f(x0)1，得或解得x01.关于x的方程f(x)k有两个不同零点等价于yf
26、(x)的图象与直线yk有两个不同交点，如图，作出yf(x)与yk的图象，观察图象可知，当0k1时，yf(x)的图象与直线yk有两个不同交点即k(0,1)16设函数f(x)若a1，则f(x)的最小值为_；若f(x)恰有两个零点，则实数a的取值范围是_.答案12，)解析当a1时，f(x)当x1，当x1时，f(x)4(x1)(x2)4(x23x2)421，当1x时，函数f(x)单调递增，故f(x)minf1.设h(x)2xa，x1，g(x)4(xa)(x2a)，x1.若h(x)2xa，x0，并且h(1)2a0，所以0a2，而函数g(x)4(xa)(x2a)，x1有一个零点，所以2a1，且a1，所以a
27、1；若函数h(x)2xa，x1没有零点，则函数g(x)4(xa)(x2a)，x1有两个零点，当a0时，h(x)无零点，g(x)无零点，所以不满足题意，当h(1)2a0，即a2时，g(x)的两个零点满足x1a，x22a，都是满足题意的综上所述，实数a的取值范围是a2c2b.求证：(1)a0且32c3a2b，3ab.2c2b，3a4b.若a0，则3b,0b，不成立；若a0，则，不成立综上，a0且30时，f(0)0，f(1)0，f(x)在(0,1)内至少有一个零点；当c0时，f(0)0，f(1)0，f(x)在(0,2)内至少有一个零点；当c0时，f(0)0，f(1)0，f(x)在(0,2)内至少有一
28、个零点综上，函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点18定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)求函数F(x)f(x)的所有零点之和解由题意知，当x0时，f(x)作出函数f(x)的图象如图所示，设函数yf(x)的图象与y交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1x26，x4x56，x1x2x4x50，令2，解得x3，所以函数F(x)f(x)的所有零点之和为.19函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)对任意的xR都有f(x2)f(x2)若在区间5,3上函数g(x)f(x)mxm恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围解因为对任意的xR都有f(x2)f(x2)，所以函数f(x)的周期为4.由在区间5,3上函数g(x)f(x)mxm有三个不同的零点，知函数f(x)与函数h(x)mxm的图象在5,3上有三个不同的交点在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间5,3上的图象，如图所示由图可知m，即m.
