1、5.5.2 简单的三角恒等变换(一)基础预习初探问题1.如何用cos 2表示sin2，cos2，tan2？提示：根据倍角公式，sin212(1cos2)，cos212(1cos2)，tan21cos21cos 2.问题 2.如何用 cos 表示 sin22，cos22，tan22？提示：sin22 12(1cos)，cos22 12(1cos)，tan22 1cos1cos .【概念生成】结论：半角公式与降幂公式降幂公式半角公式sin22 _sin 2 _cos22 _cos 2 _tan22 _tan 2 _1cos21cos 21cos21cos 21cos1cos 1cos 1cos 核
2、心互动探究探究点一 利用半角公式求值【典例1】(1)已知sin 35，52 3，那么tan 2 cos 2 的值为()A 10103 B3 1010C3 1010D3 1010(2)已知cos 35，32，则tan 2 _【思维导引】(1)利用sin22 12(1cos)，cos22 12(1cos)求解(2)利用半角公式计算，也可以通过其他三角恒等变换计算【解析】(1)选B.因为52 3，所以cos 1sin2 45，54 2 32.所以sin2 0，cos 2 0.所以sin 2 1cos 2 31010，cos 2 1cos 2 1010.所以tan 2 sin 2cos 23.所以ta
3、n 2 cos 2 3 1010.(2)方法一：因为cos 35，32，则2 2，34，则由半角公式，得tan 2 1cos 1cos 1351352.方法二：因为cos 35，32，所以sin 45，所以tan 2 sin 2cos 22sin222sin2cos 21cos sin 135452.答案：2【类题通法】已知的某个三角函数值，求2 的三角函数值的步骤(1)根据的范围，利用同角三角函数基本关系式求得的其他三角函数值(2)注意2 的范围，代入半角公式计算即可【定向训练】已知sin 45，32，求sin 2，cos 2，tan 2 的值【解析】因为32，sin 45，所以cos 35
4、，且2 2 34，所以sin 2 1cos 22 55，cos 2 1cos 2 55，tan 2 sin 2cos 22.【跟踪训练】已知sin 817 且32，求sin 2，cos 2，tan 2 的值【解析】因为sin 817，32，所以cos 1517.又2 2 34，所以sin 2 1cos 21151724 1717，cos 2 1cos 2115172 1717，tan 2 sin 2cos 24.探究点二 利用三角恒等变换化简【典例2】(1)化简sin 21cos 2()Asin Bcos Ctan Dsin(2)化简(1tan 2tan 2)1cos 2sin 2_【思维导引
5、】(1)利用二倍角公式化简(2)先切化弦，再利用倍角公式求解【解析】(1)选C.sin 21cos 2 2sin cos 1（2cos21）sincos tan.(2)原式(cos 2sin 2sin 2cos 2)1cos 2sin 2cos22sin22sin2cos 22sin22sincos 2cos sin sin cos 2.答案：2【类题通法】三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数(2)化简的思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是
6、分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法(3)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等【定向训练】已知是第三象限角，则1cos 1cos 1cos 1cos ()A 2sin B 2cos C2tan D 2tan【解析】选A.方法一：因为是第三象限角，则2 是第二或第四象限角则1cos 1cos 1cos 1cos sin22cos22cos22sin22（sin 2cos 2cos 2sin 2)2sin .方法二：原式（1cos）21cos2（1cos）21cos2|1cos|sin|1cos|sin|2|
7、sin|2sin .【跟踪训练】已知32，化简：1sin 1cos 1cos 1sin 1cos 1cos.【解析】原式sin 2cos 222cos 2 2sin 2sin 2cos 222cos 2 2sin 2.因为32，所以2 2 34，所以cos2 0，所以原式sin 2cos 22 2sin 2cos 2 sin 2cos 222sin 2cos 2sin 2cos 22sin 2cos 22 2 cos2.探究点三 三角恒等变换的综合应用【典例3】(1)求证：sin 33sin 4sin3.(2)已知函数f(x)3sin2x4sin32x，求：f(x)的最小正周期求函数f(x)的
8、最大值和最小值【思维导引】(1)转化为和角的正弦公式，再利用二倍角公式证明(2)将三角函数解析式化简，再求周期和最值【解析】(1)sin3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin(1sin2)(12sin2)sin3sin 4sin3.(2)f(x)3sin 2x4sin32xsin2x2sin 2x2sin32x2sin32xsin2x(12sin22x)2sin2x(1sin22x)sin2x cos 4x2sin 2x cos22xsin2x cos 4xcos 2x sin 4xsin(2x4x)sin 6x.所以f(x)的最小正周期T2 3.函数f(x)sin 6x的
9、最大值为1，最小值为1.【类题通法】三角恒等式证明的常见途径(1)从复杂的一端向简单一端化简，即化繁为简(2)两边化简，使其都等于中间某个式子，即左右归一(3)把式子中的切函数化为弦函数，即化切为弦(4)利用分析法、综合法找与原式等价的式子，即等价化归【延伸探究】在本例2中，如何证明函数f(x)的图象关于直线x 12 对称？【解析】函数的解析式化简为f(x)3sin 2x4sin32xsin6x.方法一：由6xk2，kZ，得xk6 12，kZ，所以函数f(x)sin 6x的图象的对称轴为直线xk6 12，kZ.令k0，所以函数图象的一条对称轴为直线x 12，即函数图象关于直线x 12 对称方法
10、二：只要证明函数f(x)的图象上任意一点P(x，y)关于直线x 12 的对称点P(6x，y)仍然在函数图象上即可设函数f(x)sin 6x的图象上任意一点P(x，y)，则ysin 6x,点P(x，y)关于直线x12 的对称点为P(6 x，y)，由于sin 6(6 x)sin(6x)sin 6x，所以点P(6 x，y)在函数图象上所以函数图象关于直线x 12 对称【定向训练】1证明：cos 34cos33cos.【证明】cos 3cos(2)cos 2cos sin 2sin(2cos21)cos2(1cos2)cos4cos33cos.2若f(cos)cos 3，求f(x)的解析式【解析】令x
11、cos，由f(cos)cos 34cos33cos，所以f(x)4x33x,x1，1.【跟踪训练】设为第四象限角，若sin 3sin 135，则tan 2_【解析】因为sin 33sin 4sin3，所以sin3sin 3sin 4sin3sin34sin2135.且为第四象限角，所以sin 1010，cos 3 1010，于是tan sin cos 13.所以tan 2 2tan 1tan2 2131132 34.答案：34【课堂小结】课堂素养达标1已知cos13，且(0，)，则cos 2 的值为()A.63 B 63 C 63 D 33【解析】选A.因为(0，)，所以2 0，2，故cos 2 1cos 2 63.2tan 8 的值为()A 2 1 B 2 1 C 3 1 D 3 1【解析】选A.tan81cos41cos 41 221 222 22 2（2 2）222 22 2 1.3已知sin x2 45，cos x2 35，则角x是第_象限的角【解析】sin x2sin x2 cos x2 245 352425 0，cos xcos2x2 sin2x2 352452 725 0，所以角x是第三象限的角答案：三4已知cos212，且2，则tan _【解析】因为2，所以tan 1cos 21cos 2 33.答案：33
